Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/4.3.10.md
+35 −3
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.3.10.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $4.3.10.$ С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности $\rho$ и радиуса $r$ вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса $R$, заполненного жидкостью плотности $\rho_{0}$? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна $h$? | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | dfg | ||
| + | Будем решать задачу энергетически. При отсутствии сил трения полная механическая энергия всей системы (жидкость плюс падающее тело) не должна изменяться. Зададим цилиндру небольшое перемещение $x$, при этом цилиндр приобретает некоторую скорость $\upsilon$. Кинетическая энергия цилиндра станет $\frac{1}{2}\rho \pi r^{2}h\upsilon^{2}$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась на $\rho \pi r^{2}hgx$. | ||
| + | Кроме того, в силу несжимаемости жидкости часть ее, вытесняемая цилиндром, должна двигаться в противоположном направлении в зазоре между цилиндром и трубой. Так как цилиндр длинный, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что вся жидкость в зазоре двигается со скоростью $\upsilon_{0}$. С этим связана кинетическая энергия жидкости, равная $\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}$. За счет опускания цилиндра на высоту $x$ жидкость объема $\pi r^{2}x$ поднимается на высоту $h$ и ее потенциальная энергия возрастает на $\rho_{0}\pi r^{2}xgh$. | ||
| + | |||
| + | Запишем закон сохранения энергии: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{2}\rho \pi r^{2}h\upsilon^{2}+\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}=\rho \pi r^{2}hgx-\rho_{0}\pi r^{2}xgh $$ | ||
| + | |||
| + | $$\rho r^{2}\upsilon^{2}+\rho_{0}(R^{2}-r^{2})\upsilon_{0}^{2}=2r^{2}gx(\rho -\rho_{0}) \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Связь скорости движения жидкости $\upsilon_{0}$ и цилиндра $\upsilon$ можно найти из уравнения неразрывности: $S\upsilon=const$. В системе отсчёта падаюшего цилиндра на него набегает со скоростью $\upsilon$ поток жидкости площадью сечения $\pi R^{2}$. Затем этот поток проходит с некоторой скоростью $\upsilon_{0}^{'}$ в зазоре между цилиндром и трубой с площадью сечения $\pi(R^{2}-r^{2})$. С учетом уравнения неразрывности должно быть выполнено равенство: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon \pi R^{2}=\upsilon_{0}^{'} \pi(R^{2}-r^{2})$$ | ||
| + | |||
| + | Переходя теперь в систему отсчета, связанную с трубой $(\upsilon_{0}=\upsilon_{0}^{'}-\upsilon)$, получим: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon_{0}=\upsilon\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставляя (2) в (1), выразим зависимость квадрата скорости цилиндра от высоты падения $x$: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon^{2}=\frac{2(\rho-\rho_{0})}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}gx \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Точно такая же связь между скоростью $\upsilon$ и пройденным расстоянием $x$ выполняется для равноускоренного движения: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon^{2}=2ax \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | где $a$ ускорение тела. Сравнивая соотношения (3) и (4), находим ускорение цилиндра: | ||
| + | |||
| + | $$a=\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}g$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$a=\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}g$$ | ||
| + | |||
| + | $$\Delta P=\frac{\rho R^{2}}{\rho(R^{2}-r^{2})+\rho_{0}r^{2}}\rho_{0}gh$$ | ||
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.3.10.$ [Вставьте условие задачи] | $4.3.10.$ С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности $\rho$ и радиуса $r$ вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса $R$, заполненного жидкостью плотности $\rho_{0}$? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна $h$? | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dfg | Будем решать задачу энергетически. При отсутствии сил трения полная механическая энергия всей системы (жидкость плюс падающее тело) не должна изменяться. Зададим цилиндру небольшое перемещение $x$, при этом цилиндр приобретает некоторую скорость $\upsilon$. Кинетическая энергия цилиндра станет $\frac{1}{2}\rho \pi r^{2}h\upsilon^{2}$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась на $\rho \pi r^{2}hgx$. | ||
| Кроме того, в силу несжимаемости жидкости часть ее, вытесняемая цилиндром, должна двигаться в противоположном направлении в зазоре между цилиндром и трубой. Так как цилиндр длинный, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что вся жидкость в зазоре двигается со скоростью $\upsilon_{0}$. С этим связана кинетическая энергия жидкости, равная $\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}$. За счет опускания цилиндра на высоту $x$ жидкость объема $\pi r^{2}x$ поднимается на высоту $h$ и ее потенциальная энергия возрастает на $\rho_{0}\pi r^{2}xgh$. | |||
| Запишем закон сохранения энергии: | |||
| $$\frac{1}{2}\rho \pi r^{2}h\upsilon^{2}+\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}=\rho \pi r^{2}hgx-\rho_{0}\pi r^{2}xgh $$ | |||
| $$\rho r^{2}\upsilon^{2}+\rho_{0}(R^{2}-r^{2})\upsilon_{0}^{2}=2r^{2}gx(\rho -\rho_{0}) \tag{1}$$ | |||
| Связь скорости движения жидкости $\upsilon_{0}$ и цилиндра $\upsilon$ можно найти из уравнения неразрывности: $S\upsilon=const$. В системе отсчёта падаюшего цилиндра на него набегает со скоростью $\upsilon$ поток жидкости площадью сечения $\pi R^{2}$. Затем этот поток проходит с некоторой скоростью $\upsilon_{0}^{'}$ в зазоре между цилиндром и трубой с площадью сечения $\pi(R^{2}-r^{2})$. С учетом уравнения неразрывности должно быть выполнено равенство: | |||
| $$\upsilon \pi R^{2}=\upsilon_{0}^{'} \pi(R^{2}-r^{2})$$ | |||
| Переходя теперь в систему отсчета, связанную с трубой $(\upsilon_{0}=\upsilon_{0}^{'}-\upsilon)$, получим: | |||
| $$\upsilon_{0}=\upsilon\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}} \tag{2}$$ | |||
| Подставляя (2) в (1), выразим зависимость квадрата скорости цилиндра от высоты падения $x$: | |||
| $$\upsilon^{2}=\frac{2(\rho-\rho_{0})}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}gx \tag{3}$$ | |||
| Точно такая же связь между скоростью $\upsilon$ и пройденным расстоянием $x$ выполняется для равноускоренного движения: | |||
| $$\upsilon^{2}=2ax \tag{4}$$ | |||
| где $a$ ускорение тела. Сравнивая соотношения (3) и (4), находим ускорение цилиндра: | |||
| $$a=\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}g$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$a=\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}g$$ | ||
| $$\Delta P=\frac{\rho R^{2}}{\rho(R^{2}-r^{2})+\rho_{0}r^{2}}\rho_{0}gh$$ | |||