Решение

При колебаниях на тело действуют две силы – сила упругости, равная $−kx$ ( $x$ – растяжение пружины), и сила трения скольжения, равная $\mu Mg$ . Эта сила остается постоянной по модулю и всегда направлена против скорости движения тела, что приводит к затуханию колебаний.

Примем начало координат в точке, где пружина недеформированная. Если бы трения не было, то тело бы колебалось с амплитудой $\pm l$, но из-за трения при первом колебании тело не доедет до координаты $-l$ некоторое расстояние. Обозначим его $\delta$.

Запишем для первого колебания в одну сторону теорему об изменении кинетической энергии:

$$\Delta E=0=A_{тр}+A_{упр}$$

где $A_{упр}$ - работа силы упругости, $A_{тр}$ - работа силы трения.

При первом колебании работа силы упругости:

$$A_{упр}=\frac{kl^{2}}{2}-\frac{k(l-\delta)^{2}}{2}$$

А работа силы трения:

$$A_{тр}=-\mu Mg(l+l-\delta)=-\mu Mg(2l-\delta)$$

Таким образом, для величины $\delta$ получаем квадратное уравнение:

$$-\mu Mg(2l-\delta)+\frac{kl^{2}}{2}-\frac{k(l-\delta)^{2}}{2}=0$$

Данное уравнение имеет два корня:

$\delta_{1}=2l$ этот корень не имеет физического смысла. Второй корень:

$$\delta_{2}=\delta=\frac{2\mu Mg}{k}$$

Итак, при каждом колебании в одну сторону, независимо от величины $l$, брусок будет не доезжать одно и то же расстояние $\delta$. Поскольку колебание состоит из движения в одну сторону и обратно, то за 1 полный цикл колебания тело не доедит расстояние $2\delta$. А за $n$ колебаний тело не доедет расстояние $2\delta n$.

По условию задачи после остановки тела пружина оказалась недеформированной, это означает, что в конце суммарное расстояние, которое не доедет тело будет равно $l$:

$$2\delta n=l$$
$$2\cdot\frac{2\mu Mg}{k}\cdot n=l$$

Отсюда найдём коэффициент трения:

$$\mu=\frac{kl}{4Mgn}$$