Решение

Вихревое электрическое поле будет циркулировать по окружности. Поэтому:
$$E \cdot 2\pi R = -\frac{d\Phi}{dt} \quad \Rightarrow \quad E = -\frac{1}{2\pi R} \frac{d\Phi}{dt}$$
Из графика, индукция поля от оси $z$ определяется:
$$B(r) = B_0(1-\frac{r}{r_0})$$
где $B_0$ - неизвестная величина, которая меняется со временем.
Элементарный магнитный поток через кольцо шириной $dr$ определяется как:
$$\delta \Phi = 2\pi rB(r)dr$$
Тогда суммарный поток будет определятся интегралом:
$$\Phi = 2\pi\int_{0}^{R}B(r)rdr = 2\pi B_0(\frac{R^2}{2} - \frac{R^3}{3r_0})$$
Электрическое поле выражается:
$$E = (\frac{R}{2} - \frac{R^2}{3r_0})\frac{dB_0}{dt}$$
Вихревое электрическое поле сообщает тангенсальное ускорение электрону, поэтому, из Второго закона Ньютона:
$$m\frac{dv}{dt} = eE \quad \Rightarrow \quad dv = \frac{e}{m}(\frac{R}{2} - \frac{R^2}{3r_0})dB_0$$
Сила Лоренца сообщает радиальное ускорение:
$$\frac{mv^2}{R} = evB(R) \quad \Rightarrow \quad v =\frac{e}{m}RB_0(1-\frac{R}{r_0})$$
Приращение скорости:
$$dv =\frac{e}{m}R(1-\frac{R}{r_0})dB_0$$
Приравниваеи приращения скоростей от электрического и магнитного полей:
$$\frac{e}{m}(\frac{R}{2} - \frac{R^2}{3r_0})dB_0 = \frac{e}{m}R(1-\frac{R}{r_0})dB_0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} - \frac{R}{3r_0} = 1-\frac{R}{r_0}$$
Тогда $R$ равен:
$$R = \frac{3}{4}r_0$$
Отношение конечной и начальной кинетических энергий равен отношений квадратов скоростей в конце и в начале. Так как $v =\frac{e}{m}RB_0(1-\frac{R}{r_0})$, то тогда отношение так же равно отношению квадратов индукций:
$$\beta = \frac{v'^2}{v^2} = \frac{B'^2}{B^2} =\frac{(10B)^2}{B^2} = 100$$