| Определим коэффициенты теплопроводности газов в смеси обозначим их $\kappa'_{1}$ и $\kappa'_{2}$.Так как газы одноатомные и температуры одинаковые можно считать, что: | | Определим коэффициенты теплопроводности газов в смеси обозначим их $\kappa'_{1}$ и $\kappa'_{2}$.Так как газы одноатомные и температуры одинаковые можно считать, что: |
| | | |
| $$\kappa\sim \frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{\mu}}$$ | | $$\kappa\sim \frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{\mu}}$$ |
| | | |
| Значит после всех преобразований можно получить: | | Значит после всех преобразований можно получить: |
| | | |
| $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}}\cdot \frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}$$ | | $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}}\cdot \frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}$$ |
| | | |
| Где $r_{1}$ и $r_{2}$ радиусы атомов газа. | | Где $r_{1}$ и $r_{2}$ радиусы атомов газа. |
| | | |
| $$r_{2}= r_{1}\cdot (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^{\frac{1}{2}}$$ | | $$r_{2}= r_{1}\cdot (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^{\frac{1}{2}}$$ |
| | | |
| Концентрации газов в смеси относятся как $$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\alpha$$ | | Концентрации газов в смеси относятся как $$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\alpha$$ |
| | | |
| Число столкновений молекул газа 1 и газа 2 в смеси: | | Число столкновений молекул газа 1 и газа 2 в смеси: |
| | | |
| $$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}$$ | | $$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}$$ |
| | | |
| $$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2} + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}$$ | | $$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2} + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}$$ |
| | | |
| Запишем отношения теплопроводностей "до" к "после", после преобразований получим: | | Запишем отношения теплопроводностей "до" к "после", после преобразований получим: |
| | | |
| $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa'_{1}}=\frac{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}}{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}}$$ | | $$\frac{\kappa_{1}}{\kappa'_{1}}=\frac{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}}{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}}$$ |
| | | |
| Подставим выражение для $r_{2}$, закончим преобразования и выразим новую теплопроводность газа 1: | | Подставим выражение для $r_{2}$, закончим преобразования и выразим новую теплопроводность газа 1: |
| | | |
| $$\kappa'_{1} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | | $$\kappa'_{1} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ |
| | | |
| Аналогично для газа 2: | | Аналогично для газа 2: |
| | | |
| $$\kappa'_{2} = \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | | $$\kappa'_{2} = \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ |
| | | |
| Пусть создан градиент температур $\frac{\partial T}{\partial x}$ внутри смеси. Поток тепла через смесь равен: | | Пусть создан градиент температур $\frac{\partial T}{\partial x}$ внутри смеси. Поток тепла через смесь равен: |
| | | |
| $$q_{12} = \kappa_{12}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S = q_{1} + q_{2} = \kappa'_{1}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S + \kappa'_{2}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S$$ | | $$q_{12} = \kappa_{12}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S = q_{1} + q_{2} = \kappa'_{1}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S + \kappa'_{2}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| $$\kappa_{12} = \kappa'_{1} + \kappa'_{2}$$ | | $$\kappa_{12} = \kappa'_{1} + \kappa'_{2}$$ |
| | | |
| $$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ | | $$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$ |
| | | |
| | | |