Решение

Пусть максимальная длина стержня, при которой он не будет опускаться, равна $L$, при этом наклон стержня к горизонту составляет угол $\alpha$, тогда:

$$\ell=L\cos\alpha \tag{1}$$

На стержень со стороны стенок действует результирующая сила, которую можна разложить на нормальную силу реакции опоры и силу трения стержня об стенку ($\vec R=\vec N+\vec F_{тр}$). Сумма моментов этих результирующих сил относительно центра масс стержня в общем виде не равна 0, но есть одно единственное положение при котором не будет вращения. Это такое положение, когда результирующая сила проходит через центр масс. А так как точка контакта находится на конце стержня, единственное направление, при котором сила от стены не создаёт вращения, — это если она направлена вдоль самого стержня.

Силы трения направлены по вертикале, силы нормальной реакии опоры по горизонтале. При отсутствии вращения тангенс угла между ними будет тангенсом угла наклона стержня:

$$\frac{F_{тр}}{N}=\frac{\mu N}{N}=\mu=\tan\alpha \tag{2}$$

Воспользуемся тригонометрической формулой:

$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}$$

Подставим $\tan\alpha=\mu$:

$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}} \tag{3}$$

Подставим (3) в (1):

$$\ell=L\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}}$$

Отсюда:

$$L=\ell\sqrt{1+\mu^{2}}$$

Мы нашли максимальную длину, очевидно, что длина стержня будет находится в диапазоне:

$$\ell\lt L\lt \ell\sqrt{1+\mu^{2}}$$