Решение

Будем считать, что невозмущённый газ не имеет направленной скорости, то есть он неподвижен. Пусть скорость ударной волны равна $c$. После прохождения ударной волны газ сжимается, создаётся скачок давления и тем самым ударная волна разгоняет газ за собой. В области после ударного фронта газ приобретает некоторую скорость $u$, направление этой скорости такое же, как направление скорости ударной волны.

Перейдём в систему отсчёта связанную с фронтом ударной волны. В этой системе отсчёта газ до фронта движется навстречу фронту со скоростью $c$, а после фронта газ движется в том же направлении, но медленнее, со скоростью $c-u$.

Пусть поперечное сечение области, где находится газ, имеет площадь $S$. Запишем закон сохранения массы (приток массы к фронту равен отток массы от фронта):

$$\rho_{0}c\Delta tS=\rho(c-u)\Delta tS$$
$$\rho_{0}c=\rho(c-u) \tag {1}$$

Запишем закон сохранения импульса:

$$(F-F_{0})\Delta t=\left( \rho_{0}c\cdot c-\rho(c-u)\cdot (c-u) \right)S\Delta t$$

Поскольку давление $P=\frac{F}{S}$, перепишим закон сохранения импульса в виде:

$$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho(c-u)^{2} \tag{2}$$

Подставим (1) в (2):

$$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho_{0}c(c-u)=\rho_{0}cu$$

Отсюда:

$$u=\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \tag{3}$$

Подставим (3) в (1):

$$\rho_{0}c=\rho\left( c-\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \right)$$

Решая это уравнение относительно $c^{2}$, окончательно получим:

$$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$