| Будем считать, что невозмущённый газ не имеет направленной скорости, то есть он неподвижен. Пусть скорость ударной волны равна $c$. После прохождения ударной волны газ сжимается, создаётся скачок давления и тем самым ударная волна разгоняет газ за собой. В области после ударного фронта газ приобретает некоторую скорость $u$, направление этой скорости такое же, как направление скорости ударной волны. | | Будем считать, что невозмущённый газ не имеет направленной скорости, то есть он неподвижен. Пусть скорость ударной волны равна $c$. После прохождения ударной волны газ сжимается, создаётся скачок давления и тем самым ударная волна разгоняет газ за собой. В области после ударного фронта газ приобретает некоторую скорость $u$, направление этой скорости такое же, как направление скорости ударной волны. |
| | | |
| Перейдём в систему отсчёта связанную с фронтом ударной волны. В этой системе отсчёта газ до фронта движется навстречу фронту со скоростью $c$, а после фронта газ движется в том же направлении, но медленнее, со скоростью $c-u$. | | Перейдём в систему отсчёта связанную с фронтом ударной волны. В этой системе отсчёта газ до фронта движется навстречу фронту со скоростью $c$, а после фронта газ движется в том же направлении, но медленнее, со скоростью $c-u$. |
| | | |
| Пусть поперечное сечение области, где находится газ, имеет площадь $S$. Запишем закон сохранения массы (приток массы к фронту равен отток массы от фронта): | | Пусть поперечное сечение области, где находится газ, имеет площадь $S$. Запишем закон сохранения массы (приток массы к фронту равен отток массы от фронта): |
| | | |
| $$\rho_{0}c\Delta tS=\rho(c-u)\Delta tS$$ | | $$\rho_{0}c\Delta tS=\rho(c-u)\Delta tS$$ |
| $$\rho_{0}c=\rho(c-u) \tag {1}$$ | | $$\rho_{0}c=\rho(c-u) \tag {1}$$ |
| | | |
| Запишем закон сохранения импульса: | | Запишем закон сохранения импульса: |
| | | |
| $$(F-F_{0})\Delta t=\left( \rho_{0}c\cdot c-\rho(c-u)\cdot (c-u) \right)S\Delta t$$ | | $$(F-F_{0})\Delta t=\left( \rho_{0}c\cdot c-\rho(c-u)\cdot (c-u) \right)S\Delta t$$ |
| | | |
| Поскольку давление $P=\frac{F}{S}$, перепишим закон сохранения импульса в виде: | | Поскольку давление $P=\frac{F}{S}$, перепишим закон сохранения импульса в виде: |
| | | |
| $$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho(c-u)^{2} \tag{2}$$ | | $$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho(c-u)^{2} \tag{2}$$ |
| | | |
| Подставим (1) в (2): | | Подставим (1) в (2): |
| | | |
| $$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho_{0}c(c-u)=\rho_{0}cu$$ | | $$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho_{0}c(c-u)=\rho_{0}cu$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$u=\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \tag{3}$$ | | $$u=\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \tag{3}$$ |
| | | |
| Подставим (3) в (1): | | Подставим (3) в (1): |
| | | |
| $$\rho_{0}c=\rho\left( c-\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \right)$$ | | $$\rho_{0}c=\rho\left( c-\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \right)$$ |
| | | |
| Решая это уравнение относительно $c^{2}$, окончательно получим: | | Решая это уравнение относительно $c^{2}$, окончательно получим: |
| | | |
| $$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$ | | $$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$ | | $$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$ |
