Решение

$$\textbf{Своё юбилейное 300-ое решение на платформе Савченко Солюшен}$$
$$\textbf{ я посвящаю создателю данного сайта Александру Мельниченко}$$

Наши тела движутся симметрично по прямой, соединяющей их, под действием кулоновской силы и силы трения. Сразу отмечу, что тела начнут двигаться при условии: $F_{кул}\gt F_{тр}$ или $\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\gt \mu mg$. Пусть каждое тело сместилось на $x$ до полной остановки, тогда конечное расстояние между телами: $R+2x$. Изменение потенциальной энергии электростатического взаимодействия тел идёт на работу сил трения. Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(R+2x)}=2\mu mgx$$

После несложных математических преобразований сразу найдём $x$:

$$x=\frac{R}{2}\left( \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}-1 \right)$$

Максимальная скорость достигается, когда ускорение тел будет равно 0. Пусть каждое тело пройдёт расстояние $s$ до точки, где они приобретут максимальные скорости. Запишем второй закон Ньютона:

$$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\left( R+2s \right)^{2}}-\mu mg=0$$

здесь учтено, что $a=0$.

Из этого уравнения найдём $s$:

$$s=\frac{R}{2}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$

Снова запишем закон сохранения энергии. Изменение потенциальной энергии электростатического взаимодействия тел идёт на работу сил трения и приращение кинетической энергии:

$$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(R+2s)}=m\upsilon_{max}^{2} +2\mu mgs$$

Подставим сюда найденное значение $s$ и после преобразований, получим:

$$m\upsilon_{max}^{2}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-2\sqrt{\frac{\mu mgQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}}+\mu mgR$$

$$m\upsilon_{max}^{2}=\left( \sqrt{\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}} -\sqrt{\mu mgR}\right)^{2}$$

Окончательно:

$$\upsilon_{max}=\sqrt{\mu gR}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$