9.4.12. В неоднородном магнитном поле находится соленоид с током $I$. Число витков на единицу длины соленоида $n$. Магнитный поток, входящий и выходящий через торцы соленоида, равен соответственно $\Phi_1$ и$\Phi_2$. Определите силу, действующую на соленоид вдоль его оси.
Решение
Из закона Ампера $$d\vec F_A=\vec{Idl}\times\vec B$$ нетрудно сделать вывод, что силу, направленную вдоль оси соленоида, создаёт перпендикулярная этой оси компонента внешнего поля.
Пусть радиус витка соленоида $R$,$L$ - длина соленоида.
По теореме Гаусса магнитный поток через замкнутую поверхность равен 0. Рассмотрим поток через короткий участок (практически один виток) соленоида длиной $dL$. Пусть разность потоков через торцы этого участка равна $d\Phi$. Тогда: $$\Phi_{total}=\oint\vec Bd\vec S=d\Phi-\int B_{\perp}dS_{side}=0$$ Воспользуемса цилиндрической системой координат (ось $z$ направлена вдоль оси цилиндра, $\varphi$ - полярный угол) $$dl=Rd\varphi$$ $$dS_{side}=Rd\varphi dL$$ $$\int B_{\perp}dS_{side}=RdL\int_0^{2\pi} B_{\perp}d\varphi=d\Phi~~\Rightarrow~~B_{\perp}=\frac{1}{R}\frac{d\Phi}{dLd\varphi}$$ $$F_A=\int IB_{\perp}dl$$ $$\int_0^{L}F_AdL=NI\int_{\Phi_2}^{\Phi_1}d\Phi$$ $$F=nI(\Phi_1-\Phi_2)$$