Решение

Разложим ускорение на две компонента, тангенциальную $a_\parallel$ и нормальную $a_\perp$

В продольном направлении ускорение $a_\parallel$ связано с изменением скорости

$$a_\parallel = k$$

В поперечном направлении ускорение $a_\perp$ является следствие центробежной силы

$$a_\perp = \frac{v^2}{r} = \frac{k^2t^2}{r}$$

Полное ускорение

$$a = \sqrt{a^2_\perp + a^2_\parallel}$$

Подставляем полученные компоненты

$$a = \sqrt{\frac{k^4t^4}{r^2} + k^2}$$