Решение

Наша задача одномерна.

Так как скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от насыщения, можно считать нулевыми, то закон сохранения энергии можна записать в виде:

$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=e\varphi(x)$$

Отсюда:

$$\upsilon(x)=\sqrt{\frac{2e}{m_{e}}\varphi(x)}=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}}$$

Запишим теорему Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме:

$$\vec\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

где $\rho$ - объёмная плотность заряда, $\nabla$ - оператор набла.

Из определения статического потенциала:

$$\vec E=-\vec\nabla \cdot \varphi$$

Тогда:

$$\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}=\vec\nabla \cdot (-\vec\nabla \cdot \varphi)=-\nabla ^{2}\varphi$$

Для одномерного случая можна записать:

$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=-\frac{\rho(x)}{\varepsilon_{0}}$$

Поскольку $\varphi=V\left( \frac{x}{d} \right)^{n}$, вторая производная будет:

$$\frac{d^{2}\varphi }{dx^{2}}=V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

Тогда:

$$\rho(x)=-\varepsilon_{0}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=-\varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2}$$

Плотность тока для отрицательных зарядов (скорость зарядов направлена против силовых линий электрического поля) по определению:

$$j=-\rho(x)\upsilon(x)$$

Подставим:

$$j=\left[ \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2} \right]\ \cdot\left[ \sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{\frac{n}{2}} \right]$$

$$j= \varepsilon_{0}V\frac{n(n-1)}{d^{2}}\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}}\left( \frac{x}{d} \right)^{n-2+\frac{n}{2}}$$

Так как $j$ стационарен, то есть не должен зависить от $x$, тогда показатель степени при $x$ должен быть нулевым:

$$n-2+\frac{n}{2}=0\Longrightarrow n=\frac{4}{3}$$