Решение

Данная задача есть обобщением задачи $8.1.17$ с одномерного случая на трёхмерный случай, поэтому для понимания решения рекомендую сначала ознакомится с решением задачи $8.1.17$.

Пусть при напряжении на диоде $V$ установился стационарный ток, и распределение пространственного заряда — $\rho(x,y,z)$. В произвольной точке с радиус-вектором $\vec r$ потенциал поля характеризуется некоторой функцией $f(\vec r)$:

$$\varphi(\vec r)=V\cdot f(\vec r)$$

Уравнение Пауссона для электростатического поля:

$$\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

Отсюда объёмная плотность заряда:

$$\rho(\vec r)=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}\varphi(\vec r)=-\varepsilon_{0}V\nabla^{2}f(\vec r)$$

При установке напряжения на диоде равным $nV$, новая объёмная плотность заряда будет:

$$\rho^{'}(\vec r)=-\varepsilon_{0}nV\nabla^{2}f(\vec r)$$

Тогда:

$$\frac{\rho^{'}(\vec r)}{\rho(\vec r)}=\frac{-\varepsilon_{0}nV\nabla^{2}f(\vec r)}{-\varepsilon_{0}V\nabla^{2}f(\vec r)}=n$$

Плотность заряда возрастает в $n$ раз.

Из закона сохранения энергии следует, что скорость электронов:

$$\upsilon\sim \sqrt{\varphi(\vec r)}=V^{\frac{1}{2}}\sqrt{f(\vec r)}$$

Плотность тока:

$$j(\vec r)=-\rho(\vec r)\cdot \upsilon(\vec r)=\varepsilon_{0}V^{\frac{3}{2}}\sqrt{f(\vec r)}\cdot \nabla^{2}f(\vec r)$$

Полный ток:

$$I=\int\int jdS\sim V^{\frac{3}{2}}$$

При установке напряжения на диоде равным $nV$, новый полный ток будет:

$$I^{'}\sim (nV)^{\frac{3}{2}}$$

Тогда:

$$\frac{I^{'}}{I}=\frac{(nV)^{\frac{3}{2}}}{V^{\frac{3}{2}}}=n^{\frac{3}{2}}$$

Ток возрастает в $n^{\frac{3}{2}}$ раз.