Решение

$\textbf{а. }$ Внутри нашего проводящего шара радиуса $R$ очерчил сферу радиуса $r$ $(r\lt R)$. Площадь данной сферы $S=4\pi r^{2}$. Запишем теорему Гаусса:

$$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}}\Longrightarrow E(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$

Закон Ома в дифференциальной форме:

$$j(r)=\frac{1}{\rho}E(r)$$
$$j(r)=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$

здесь $j(r)$ - плотность тока.

Полный ток через сферу радиуса $r$:

$$I=j(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}\rho}$$

$\textbf{б. }$ Внутри проводника заряд не может оставаться сосредоточенным: он начнёт перетекать к поверхности, вызывая ток, направленный от центра к поверхности. Используя результат подзадачи $\textbf{а}$, можем записать:

$$I(t)=\frac{Q(t)}{\varepsilon_{0}\rho}$$

Но ток — это убывание заряда:

$$I(t)=-\frac{dQ}{dt}$$

Подставим:

$$-\frac{dQ}{dt}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}\rho}\Longrightarrow \frac{dQ}{Q}=-\frac{dt}{\varepsilon_{0}\rho}$$

Проинтегрируем, а потом проекспонируем:

$$Q(t)=C\cdot\exp\left( -\frac{t}{\varepsilon_{0}\rho} \right)$$

Из начального условия $Q(0)=Q_{0}$ получим, что $C=Q_{0}$. Тогда:

$$Q=Q_{0}\exp\left( -\frac{t}{\varepsilon_{0}\rho} \right)$$