Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #15214 предыдущая #15213 ← раньше
ru/8.2.9.md +34 −3
@@ -1,11 +1,42 @@
### Условие
−$8.2.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$8.2.9.$ На плоскость раздела двух сред, удельная проводимость которых $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, из первой среды идут линии тока, образуя угол $\alpha_{1}$ с нормалью к плоскости. Какой угол образуют с этой нормалью линии тока во второй среде? Чему равна поверхностная плотность заряда на границе раздела сред? В первой среде плотность тока $j$.
+![К задаче $8.2.9$|205x141, 40%](../../img/8.2.9/8.2.9.png)
+
### Решение
−fds
+В проводнике закон Ома в дифференциальной форме:
+$$\vec j=\lambda \vec E\Longrightarrow \vec E=\frac{\vec j}{\lambda}$$
+
+Разложим вектор напряжённости на тангенциальную $(E_{\parallel })$ и нормальную $(E_{\bot })$ составляющие.
+
+Тангенциальная компонента поля непрерывна для стационарного тока (следствие из роторного уравнения Максвелла):
+
+$$E_{\parallel 1}=E_{\parallel 2}$$
+$$\frac{j\sin\alpha_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{j_{2}\sin\alpha_{2}}{\lambda_{2}} \tag{1}$$
+
+Так как ток непрерывный через границу (нормальная компонента тока не накапливается):
+
+$$j\cos\alpha_{1}=j_{2}\cos\alpha_{2} \tag{2}$$
+
+Разделим (1) на (2):
+
+$$\frac{\tan\alpha_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{\tan\alpha_{2}}{\lambda_{2}}$$
+$$\tan\alpha_{2}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\tan\alpha_{1}$$
+
+Запишем теорему Гаусса для нормальной составляющей поля:
+
+$$E_{\bot 1}-E_{\bot 2}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$
+$$\frac{j\cos\alpha_{1}}{\lambda_{1}}-\frac{j_{2}\cos\alpha_{2}}{\lambda_{2}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$
+
+Учитывая (2), получим:
+
+$$\sigma=\varepsilon_{0}j\cos\alpha_{1}\left( \frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda_{2}} \right)$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\tan\alpha_{2}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\tan\alpha_{1}$$
+
+$$\sigma=\varepsilon_{0}j\cos\alpha_{1}\left( \frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda_{2}} \right)$$