Решение

При подключении к батареи конденсатор получит заряд $Q=C\mathscr{E}$ и запасённая энергия на конденсаторе будет:

$$W_{кон}=\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}$$

Однако батарея отдаёт при этом энергию:

$$W_{бат}=Q\mathscr{E}=C\mathscr{E}^{2}$$

Итак, половина энергии теряется в виде джоулевого тепла.

Если батарея состоит из $n$ одинаковых элементов, у каждого ЭДС:

$$E=\frac{\mathscr{E}}{n}$$

Идея в том, чтобы заряжать конденсатор поэтапно, на каждом шаге подключая всё большее число элементов последовательно, чтобы напряжение на источнике в каждый момент было почти равно напряжению на конденсаторе, тем самым минимизировать ток и, соответственно, потери.

На каждом шаге $k$ (от 1 до $n$) подключается батарея с ЭДС $E_{k}=\frac{k\mathscr{E}}{n}$ и заряд $Q_{k}$ увеличивается до:

$$Q_{k}=C\frac{k\mathscr{E}}{n}$$

При этом прирост заряда на шаге $k$:

$$\Delta Q_{k}=Q_{k}-Q_{k-1}=C\left( \frac{k\mathscr{E}}{n}-\frac{(k-1)\mathscr{E}}{n} \right)=C\frac{\mathscr{E}}{n}$$

Энергия, полученная от батареи на шаге $k$:

$$W_{k}^{бат}=E_{k}\cdot \Delta Q_{k}=\frac{k\mathscr{E}}{n}\cdot C\frac{\mathscr{E}}{n}=C\mathscr{E}^{2}\cdot \frac{k}{n^{2}}$$

Полная энергия, полученная от всех источников батареи:

$$W_{бат}=\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{бат}=C\mathscr{E}^{2}\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}=C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{n+1}{2n}$$

Запасённая энергия на конденсаторе, как и прежде, будет:

$$W_{кон}=\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}$$

Долю потерь можна выразить так:

$$\eta=\frac{W_{бат}-W_{кон}}{W_{кон}}$$

Подставим:

$$\eta=\frac{C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}}{\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}}=\frac{n+1-n}{n}=\frac{1}{n}$$

Итак, чем больше элементов в батарее, тем меньшая доля энергии теряется.