7.4.36∗. Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$. В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$,$m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов.
Решение
Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии: $$-\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A$$
К задаче $7.4.36$
Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечной пластины:
$$E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0}$$
Тогда сила будет равна:
$$F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0}$$
Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу:
$$A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{8\varepsilon_0}$$
Тогда скорость определяется:
$$v_{min} = he\sqrt{\frac{n}{4\varepsilon_0 m_e}}$$
a) Если $v>>v_{min}$, то электроны покинут плазму. Тогда напряжёность слоя будет как напряжёность бесконечной пластины:
$$E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0}$$
Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно:
$$t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}$$
Это время равно $t = T/4$, тогда частота:
$$\nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}$$
б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона:
$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{2ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0$$
Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}$$
Время остановки равно $t = T/4$:$$t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}$$
И частота:
$$\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}$$
