Решение

Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна:

$$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$

Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия:

$$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$

Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости:

$$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$

Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$

Отсюда выразим $\upsilon$:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$

Это скорость убывания высоты столба жидкости:

$$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$

Получим дифференциальное уравнение:

$$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$

Разделим переменные:

$$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$

Проинтегрируем: