| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $4.3.17.$ Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины $l$ в тонкой $L$-образной трубке. Плотность жидкости равна $\rho$. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину. |
| $4.3.17.$ Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины $l$ в тонкой $L$-образной трубке. Плотность жидкости равна $\rho$. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна: | | Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна: |
| | | |
| $$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$ | | $$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$ |
| | | |
| Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия: | | Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия: |
| | | |
| $$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$ | | $$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$ |
| | | |
| Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости: | | Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости: |
| | | |
| $$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$ | | $$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$ |
| | | |
| Запишем закон сохранения энергии: | | Запишем закон сохранения энергии: |
| | | |
| $$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$ | | $$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$ |
| | | |
| Отсюда выразим $\upsilon$: | | Отсюда выразим $\upsilon$: |
| | | |
| $$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$ | | $$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$ |
| | | |
| Это скорость убывания высоты столба жидкости: | | Это скорость убывания высоты столба жидкости: |
| | | |
| $$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$ | | $$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$ |
| | | |
| Получим дифференциальное уравнение: | | Получим дифференциальное уравнение: |
| | | |
| $$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$ | | $$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$ |
| | | |
| Разделим переменные: | | Разделим переменные: |
| | | |
| $$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$ | | $$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$ |
| | | |
| Проинтегрируем: | | Проинтегрируем: |
| | | |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$h=l\cos\left( t\sqrt{\frac{g}{l}} \right)$$ | | $$h=l\cos\left( t\sqrt{\frac{g}{l}} \right)$$ |
