Решение

Задачу можна решить либо используя кинематический подход, либо энергетический подход. Я выбираю энергетический метод решения (он короче).

Работа электрического поля идёт на изменение кинетической энергии частицы:

$$\frac{1}{2}mu^{2}-\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=qEd$$

Отсюда сразу найдём модуль скорости вылета частицы из конденсатора:

$$u=\upsilon\sqrt{1+\frac{2qEd}{m\upsilon^{2}}}$$

Разложим начальную и конечную скорость частицы по осям: одна ось направлена параллельно вектору напряжённости поля, другая ось перпендикулярно полю.

Начальная скорость: $\upsilon_{\bot }=\upsilon\cos\alpha$ (данная компонента не меняется, так как вдоль этой оси не действуют никакие силы), $\upsilon_{\parallel }=\upsilon\sin\alpha$.

Конечная скорость: $u_{\bot }=\upsilon_{\bot }=\upsilon\cos\alpha$, а компоненту $u_{\parallel }$ найдём из теоремы Пифагора:

$$u_{\parallel }=\sqrt{u^{2}-u_{\bot }^{2}}=\sqrt{\left( \upsilon^{2}+\frac{2qEd}{m} \right)-\upsilon^{2}\cos^{2}\alpha}=\sqrt{\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha+\frac{2qEd}{m}}$$

Или

$$u_{\parallel }=\upsilon\sin\alpha\sqrt{1+\frac{2qEd}{m\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha}}$$

Тангенс угла вылета частицы из конденсатора:

$$\tan\beta=\frac{u_{\parallel }}{u_{\bot }}=\frac{\upsilon\sin\alpha\sqrt{1+\frac{2qEd}{m\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha}}}{\upsilon\cos\alpha}=\tan\alpha\sqrt{1+\frac{2qEd}{m\upsilon^{2}\sin^{2}\alpha}}$$