$6.2.13^∗$ В равномерно заряженном шаре радиуса $R$ вырезали сферическую полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $l$ от центра шара. Объемная плотность заряда $\rho$. Найдите напряженность электрического поля вдоль прямой, проходящей через центр полости и центр шара. Докажите, что электрическое поле в полости однородно.
Представим данную в задаче систему немного иначе: пусть в равномерно заряженый шар радиуса $R$ вставили равномерно заряженный шар радиуса $r$ с объёмной плотностью заряда $-\rho$. В результате получается область с нулевым суммарным зарядом, которую можно рассмотреть как указанную в условии полость.
Таким образом, поле в любой точке в полости можно представить как суперпозицию полей внутри двух шаров. Поле заряженного шара было найдено в задаче 6.2.6: Внутри шара: $$\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}$$ Вне шара: $$\vec{E_s}=E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r}$$ где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара в рассматривуемую точку. Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$ Тогда поле в некой точке в полости равно $$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l}$$ Поле в любой точке в полости будет направлено вдоль $\vec{l}$ и одинаково по модулю, значит, оно однородно.
Аналогично рассмотрим поле вдоль $\vec{l}$. Пусть $x$ - расстояние точки от центра большего шара.
$0<x<l-r:$ $$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2})$$ $$E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)$$ $l+r<x<R:$ $$\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2})$$ $$E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$$ $x>R:$ $$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2})$$ $$E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({\frac{R^3}{(x)^2+\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$$ P.S. В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка.
