Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/6.2.13.md
+18 −18
| @@ -1,13 +1,13 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.2.13.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| $6.2.13^∗$ В равномерно заряженном шаре радиуса $R$ вырезали сферическую полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $l$ от центра шара. Объемная плотность заряда $\rho$. | |||
| Найдите напряженность электрического поля вдоль прямой, проходящей через центр полости и центр шара. | |||
| Докажите, что электрическое поле в полости однородно. | |||
| + | ### Решение | ||
| + |  | ||
| + | |||
| + | |||
| Представим данную в задаче систему немного иначе: пусть в равномерно заряженый шар радиуса $R$ вставили равномерно заряженный шар радиуса $r$ с объёмной плотностью заряда $-\rho$. | |||
| В результате получается область с нулевым суммарным зарядом, которую можно рассмотреть как указанную в условии полость. | |||
| Таким образом, поле в любой точке в полости можно представить как суперпозицию полей внутри двух шаров. | |||
| Поле заряженного шара было найдено в задаче [6.2.6](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6): | |||
| Внутри шара: | |||
| $$ | |||
| \vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r} | |||
| @@ -19,10 +19,12 @@Решение | |||
| $$ | |||
| Вне шара: | |||
| $$ | |||
| − | \vec{E_s}= | ||
| + | \vec{E_s}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r} | ||
| $$ | |||
| где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара в рассматривуемую точку. | |||
| − | Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$ | ||
| + | |||
| + | Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$. | ||
| + | |||
| Тогда поле в некой точке в полости равно | |||
| $$ | |||
| \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} | |||
| $$ | |||
| Поле в любой точке в полости будет направлено вдоль $\vec{l}$ и одинаково по модулю, значит, оно однородно. | |||
| Аналогично рассмотрим поле вдоль $\vec{l}$. Пусть $x$ - расстояние точки от центра большего шара. | |||
| @@ -33,36 +35,34 @@Решение | |||
| $0<x<l-r:$ | |||
| $$ | |||
| − | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}) | ||
| + | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right) | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right) | |||
| $$ | |||
| $l+r<x<R:$ | |||
| $$ | |||
| − | \vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}) | ||
| + | \vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right) | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right) | |||
| $$ | |||
| $x>R:$ | |||
| $$ | |||
| − | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}) | ||
| + | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right) | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left( | ||
| + | E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{x^2}+\frac{r^3}{(x-l)^2} \right) | ||
| $$ | |||
| − | P.S. В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка. | ||
| + | $P.S.$ В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка. | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| $0<x<l-r:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)$ | |||
| − | $ | ||
| + | $\text{В полости:} ~~\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} $ | ||
| $l+r<x<R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$ | |||
| − | $x>R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left( | ||
| − | |||
| − | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $x>R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{x^2}+\frac{r^3}{(x-l)^2} \right)$ | ||
| @@ -1,13 +1,13 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.2.13.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| $6.2.13^∗$ В равномерно заряженном шаре радиуса $R$ вырезали сферическую полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $l$ от центра шара. Объемная плотность заряда $\rho$. | $6.2.13^∗$ В равномерно заряженном шаре радиуса $R$ вырезали сферическую полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $l$ от центра шара. Объемная плотность заряда $\rho$. | ||
| Найдите напряженность электрического поля вдоль прямой, проходящей через центр полости и центр шара. | Найдите напряженность электрического поля вдоль прямой, проходящей через центр полости и центр шара. | ||
| Докажите, что электрическое поле в полости однородно. | Докажите, что электрическое поле в полости однородно. | ||
| ### Решение | |||
|  | |||
| Представим данную в задаче систему немного иначе: пусть в равномерно заряженый шар радиуса $R$ вставили равномерно заряженный шар радиуса $r$ с объёмной плотностью заряда $-\rho$. | Представим данную в задаче систему немного иначе: пусть в равномерно заряженый шар радиуса $R$ вставили равномерно заряженный шар радиуса $r$ с объёмной плотностью заряда $-\rho$. | ||
| В результате получается область с нулевым суммарным зарядом, которую можно рассмотреть как указанную в условии полость. | В результате получается область с нулевым суммарным зарядом, которую можно рассмотреть как указанную в условии полость. | ||
| Таким образом, поле в любой точке в полости можно представить как суперпозицию полей внутри двух шаров. | Таким образом, поле в любой точке в полости можно представить как суперпозицию полей внутри двух шаров. | ||
| Поле заряженного шара было найдено в задаче [6.2.6](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6): | Поле заряженного шара было найдено в задаче [6.2.6](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6): | ||
| Внутри шара: | Внутри шара: | ||
| $$ | $$ | ||
| \vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r} | \vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r} | ||
| @@ -19,10 +19,12 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| Вне шара: | Вне шара: | ||
| $$ | $$ | ||
| \vec{E_s}= |
\vec{E_s}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара в рассматривуемую точку. | где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара в рассматривуемую точку. | ||
| Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$ | |||
| Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$. | |||
| Тогда поле в некой точке в полости равно | Тогда поле в некой точке в полости равно | ||
| $$ | $$ | ||
| \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} | ||
| $$ | $$ | ||
| Поле в любой точке в полости будет направлено вдоль $\vec{l}$ и одинаково по модулю, значит, оно однородно. | Поле в любой точке в полости будет направлено вдоль $\vec{l}$ и одинаково по модулю, значит, оно однородно. | ||
| Аналогично рассмотрим поле вдоль $\vec{l}$. Пусть $x$ - расстояние точки от центра большего шара. | Аналогично рассмотрим поле вдоль $\vec{l}$. Пусть $x$ - расстояние точки от центра большего шара. | ||
| @@ -33,36 +35,34 @@Решение | |||
| $0<x<l-r:$ | $0<x<l-r:$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}) | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right) | E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $l+r<x<R:$ | $l+r<x<R:$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}) | \vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right) | E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $x>R:$ | $x>R:$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}) | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left( |
E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{x^2}+\frac{r^3}{(x-l)^2} \right) | ||
| $$ | $$ | ||
| P.S. В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка. | $P.S.$ В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка. | ||
| #### Ответ | |||
| $0<x<l-r:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)$ | $0<x<l-r:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)$ | ||
| $ |
$\text{В полости:} ~~\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} $ | ||
| $l+r<x<R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$ | $l+r<x<R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$ | ||
| $x>R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left( |
$x>R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{x^2}+\frac{r^3}{(x-l)^2} \right)$ | ||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||