Решение

Внутри проводника есть свободные заряды. Если в проводнике возникнет хоть какое-то электрическое поле, то оно сразу же начнёт двигать заряды. Те перераспределятся так, что создадут собственное поле, компенсирующее исходное. В равновесии заряды распределены так, что результирующее электрическое поле внутри проводника полностью исчезает.

Если бы на поверхности существовала составляющая электрического поля, параллельная поверхности, она бы действовала на свободные заряды с силой в том же направлении. Под действием этой силы заряды начали бы двигаться вдоль поверхности. Однако заряды будут двигаться до тех пор, пока эта параллельная составляющая поля не станет равна нулю. Следовательно, в статическом состоянии электрическое поле не может иметь составляющую, параллельную поверхности проводника, и оно должно быть перпендикулярно ей.

Электрическое поле связано с потенциалом соотношением:

$$\vec E=-\vec\nabla \varphi$$

Внутри проводника $\vec E=0$, это означает, что $\vec\nabla \varphi=0$, то есть потенциал не изменяется ни в каком направлении. Следовательно, потенциал во всём объёме проводника и на его поверхности — одинаковый.