Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/14.2.3.md
+39 −3
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.2.3.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $14.2.3.$ Хотя время жизни неподвижного $\mu$-мезона мало — около $2\cdot10^{-6}\text{ с}$, $\mu$-мезоны, рожденные космическими лучами на высоте 30 км, достигают поверхности Земли. Определите верхний предел разницы между скоростью света и скоростью $\mu$-мезонов. | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Если бы $\mu$-мезон летел без учёта релятивистского эффекта замедления времени, то за время своей жизни он успел бы пролететь максимум: | ||
| + | $$L_{0}=c\tau_{0}=3\cdot10^{8}\cdot2\cdot10^{-6}=600\text{ м}$$ | ||
| + | |||
| + | и это притом, что летит со скоростью света. | ||
| + | |||
| + | Из-за релятивистского замедления времени все физические процессы в движущейся системе отсчёта замедляются по отношению к наблюдателю в неподвижной системе. Поэтому благодаря замедлению времени $\mu$-мезоны живут дольше с точки зрения земного наблюдателя: | ||
| + | |||
| + | $$\tau=\frac{\tau_{0}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы $\mu$-мезон успел пролететь $L=30$ км, он должен быть ультрарелятивистским ($\upsilon\to c$): | ||
| + | |||
| + | $$\tau=\frac{L}{\upsilon}\approx \frac{L}{c}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим формулу для $\tau$: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\tau_{0}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}=\frac{L}{c}$$ | ||
| + | |||
| + | Возведя в квадрат выражение, получим: | ||
| + | |||
| + | $$\left( 1+\frac{\upsilon}{c} \right)\left( 1-\frac{\upsilon}{c} \right)=\frac{c^{2}\tau_{0}^{2}}{L^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Опять же, для верхней оценки скорости будем считать, что $\left( 1+\frac{\upsilon}{c} \right)\approx 2$, тогда: | ||
| + | |||
| + | $$\left( 1-\frac{\upsilon}{c} \right)\approx \frac{c^{2}\tau_{0}^{2}}{2L^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Для разности скоростей получим: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta\upsilon=c-\upsilon=\frac{c^{3}\tau_{0}^{2}}{2L^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставив численные значения величин, получим: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta\upsilon=6\cdot10^{4}\text{ м/с}$$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы $\mu$-мезоны успели с высоты 30 км достичь Земли, их скорость должна отличаться от скорости света не больше чем на ~ 60 км/с, это всего лишь 0,02 % от скорости света. | ||
| + | |||
| + | P.S. В ответе задачника опечатка. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $\Delta\upsilon=6\cdot10^{4}\text{ м/с}$ | ||
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.2.3.$ [Вставьте условие задачи] | $14.2.3.$ Хотя время жизни неподвижного $\mu$-мезона мало — около $2\cdot10^{-6}\text{ с}$, $\mu$-мезоны, рожденные космическими лучами на высоте 30 км, достигают поверхности Земли. Определите верхний предел разницы между скоростью света и скоростью $\mu$-мезонов. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Если бы $\mu$-мезон летел без учёта релятивистского эффекта замедления времени, то за время своей жизни он успел бы пролететь максимум: | ||
| $$L_{0}=c\tau_{0}=3\cdot10^{8}\cdot2\cdot10^{-6}=600\text{ м}$$ | |||
| и это притом, что летит со скоростью света. | |||
| Из-за релятивистского замедления времени все физические процессы в движущейся системе отсчёта замедляются по отношению к наблюдателю в неподвижной системе. Поэтому благодаря замедлению времени $\mu$-мезоны живут дольше с точки зрения земного наблюдателя: | |||
| $$\tau=\frac{\tau_{0}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$$ | |||
| Чтобы $\mu$-мезон успел пролететь $L=30$ км, он должен быть ультрарелятивистским ($\upsilon\to c$): | |||
| $$\tau=\frac{L}{\upsilon}\approx \frac{L}{c}$$ | |||
| Подставим формулу для $\tau$: | |||
| $$\frac{\tau_{0}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}=\frac{L}{c}$$ | |||
| Возведя в квадрат выражение, получим: | |||
| $$\left( 1+\frac{\upsilon}{c} \right)\left( 1-\frac{\upsilon}{c} \right)=\frac{c^{2}\tau_{0}^{2}}{L^{2}}$$ | |||
| Опять же, для верхней оценки скорости будем считать, что $\left( 1+\frac{\upsilon}{c} \right)\approx 2$, тогда: | |||
| $$\left( 1-\frac{\upsilon}{c} \right)\approx \frac{c^{2}\tau_{0}^{2}}{2L^{2}}$$ | |||
| Для разности скоростей получим: | |||
| $$\Delta\upsilon=c-\upsilon=\frac{c^{3}\tau_{0}^{2}}{2L^{2}}$$ | |||
| Подставив численные значения величин, получим: | |||
| $$\Delta\upsilon=6\cdot10^{4}\text{ м/с}$$ | |||
| Чтобы $\mu$-мезоны успели с высоты 30 км достичь Земли, их скорость должна отличаться от скорости света не больше чем на ~ 60 км/с, это всего лишь 0,02 % от скорости света. | |||
| P.S. В ответе задачника опечатка. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $\Delta\upsilon=6\cdot10^{4}\text{ м/с}$ | ||