| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $14.4.27.$ Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции $B$ по винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$. | | $14.4.27.$ Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции $B$ по винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$. | | Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$. |
| | | |
| Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле: | | Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле: |
| | | |
| $$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$ | | $$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$ |
| | | |
| где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона. | | где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона. |
| | | |
| Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать: | | Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать: |
| | | |
| $$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$ | | $$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$ |
| | | |
| Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту: | | Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту: |
| | | |
| $$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$ | | $$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$ |
| | | |
| Период вращения: | | Период вращения: |
| | | |
| $$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$ | | $$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$ |
| | | |
| Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда: | | Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда: |
| | | |
| $$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$ | | $$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$ |
| | | |
| Тогда параллельный импульс: | | Тогда параллельный импульс: |
| | | |
| $$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$ | | $$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$ |
| | | |
| Модуль полного импульса: | | Модуль полного импульса: |
| | | |
| $$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$ | | $$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$ |
| | | |
| Релятивистская полная энергия частицы: | | Релятивистская полная энергия частицы: |
| | | |
| $$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$ | | $$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$ |
| | | |
| Релятивистская кинетическая энергия частицы: | | Релятивистская кинетическая энергия частицы: |
| | | |
| $$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$ | | $$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$ |
| | | |
| Подставим (3) и (4) в (5), получим: | | Подставим (3) и (4) в (5), получим: |
