Решение

Пусть ось $x$ направлена вдоль скорости системы $u$, а исходная скорость частицы равна $\vec\upsilon=(\upsilon_{x},\upsilon_{y})=(0,\upsilon)$, то есть $\vec\upsilon\bot \vec u$.

Тогда преобразования скоростей из одной системы отсчёта в другую:

$$\upsilon_{x}^{'}=\frac{\upsilon_{x}-u}{1-\frac{u\upsilon_{x}}{c^{2}}}$$
$$\upsilon_{y}^{'}=\frac{\upsilon_{y}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u\upsilon_{x}}{c^{2}}}$$

Подставим в формулы проекции скорости $\vec\upsilon$:

$$\upsilon_{x}^{'}=\frac{0-u}{1-\frac{u\cdot 0}{c^{2}}}=-u$$
$$\upsilon_{y}^{'}=\frac{\upsilon\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u\cdot 0}{c^{2}}}=\upsilon\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}$$

Следовательно модуль скорости в новой системе:

$$\upsilon^{'}=\sqrt{\upsilon_{x}^{'2}+\upsilon_{y}^{'2}}=\sqrt{u^{2}+\upsilon^{2}\left( 1-\frac{u^{2}}{c^{2}} \right)}=\upsilon\sqrt{1+\frac{u^{2}}{\upsilon^{2}}-\frac{u^{2}}{c^{2}}}$$

Искомое отношение:

$$\frac{\upsilon^{'}}{\upsilon}=\sqrt{1+\frac{u^{2}}{\upsilon^{2}}-\frac{u^{2}}{c^{2}}}$$