Решение

Осциллятор совершает слабозатухающие колебания по следующим законам:
$$x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0)$$
$$v(t) = -A_0 e^{-\beta t} [\beta \cos(\omega t + \varphi_0) + \omega \sin(\omega t + \varphi_0)]$$
где $\beta$ - коэффициент затухания ($\beta \ll \omega$ по условию).

Для малого затухания ($\beta \ll \omega$) приближённо:
$$v(t) \approx -\omega A_0 e^{-\beta t} \sin(\omega t + \varphi_0)$$

Выразим оба сигнала через координату $x$:
$$x = A e^{-\beta t} \cos\theta, \quad v = -\omega A e^{-\beta t} \sin\theta$$
где $A = A_0$, $\theta = \omega t + \varphi_0$.

Получаем уравнение траектории:
$$\left(\frac{x}{A e^{-\beta t}}\right)^2 + \left(\frac{v}{\omega A e^{-\beta t}}\right)^2 = 1$$

Если бы затухание отсутствовало, то траектория была бы окружностью, однако с учётом затухания траектория представляет собой медленно сжимающуюся спираль:
$$\frac{x^2}{(A e^{-\beta t})^2} + \frac{v^2}{(\omega A e^{-\beta t})^2} = 1$$

Таким образом, на экране осциллографа наблюдается эллиптическая спираль, медленно сжимающаяся к началу координат (ее изображение в ответе)