11.5.22∗. Докажите, что сверхпроводящее кольцо индуктивности $L$, налетающее со скоростью $v$ на соосное ему магнитное поле, отразится этим полем, если кинетическая энергия кольца будет меньше $\Phi^2/2L$, где $\Phi$ — максимальный поток магнитного поля через кольцо.
Решение
Как и в задаче $11.5.18$ влетающий в поле сверхпроводник можно рассматривать как изолированную систему (это объяснялось в решении указанной задачи).
Пусть начальный ток в кольце равен нулю. При вхождении в магнитное поле сверхпроводящее кольцо создает свое магнитное поле, компенсирующее поток внешнего магнитного поля через кольцо (сохранение магнитного потока через сверхпроводящий контур). Примем для определенности, что кольцо влетает издалека в однородное поле такой конфигурации, как в задаче $11.5.18$.
Отражение кольца полем происходит, как можно понять, из энергетического условия:
$$K<W_\text{max},$$
где $K$ есть кинетическая энергия кольца вдали от поля, $W_\text{max}$ есть энергия магнитного поля, созданного кольцом, при максимальном потоке внешнего поля через кольцо.
Энергия $W_\text{max}$ равна
$$W_\text{max}=LI^2/2,$$
где $I_\text{max}$ есть ток наведенный в кольце, поле которого компенсирует максимальный поток внешнего поля через кольцо.
Учитывая, что при токе $I_{\max}$ поток через кольцо равен
$$\Phi_\text{max}=LI_\text{max},$$
предыдущую формулу можно записать так:
$$W_\text{max}=\Phi_\text{max}^2/2L.$$
А так как ток кольца компенсирует поток внешнего поля через себя ($\Phi_\text{max}=\Phi$), то максимальная энергия магнитного поля выражается через максимальный поток внешнего поля: