Решение

По определению плотности потока импульса:
$$j = \Delta p \cdot c$$
Изменение плотности импульса в волне сжатия:
$$\Delta p = \Delta\rho \cdot v$$
где $v$ — скорость колебаний частиц среды.

Для плоской звуковой волны скорость колебаний частиц:
$$v = c \cdot \frac{\Delta\rho}{\rho}$$
Из всех вышесказанных уравнений можно найти плотность потока импульса:
$$j = \Delta p \cdot c = c \frac{(\Delta\rho)^2}{\rho} \cdot c = c^2 \frac{(\Delta\rho)^2}{\rho}$$
Когда волна находится внутри слоя, часть слоя длиной $l$ имеет плотность $\rho + \Delta\rho$ и движется вперёд со скоростью $v$. Остальная часть слоя длиной $L - l$ покоится.

Масса всего слоя в невозмущённом состоянии:
$$M = \rho L S$$
где $S$ — площадь сечения.

Масса сжатой части (волны):
$$m_{\text{волны}} = (\rho + \Delta\rho) l S \approx \rho l S$$
(слагаемым $\Delta\rho$ пренебрегаем, так как оно мало по сравнению с $\rho$)

Импульс слоя создаётся только движущейся частью (волной):
$$p = m_{\text{волны}} \cdot v = (\rho l S) \cdot v$$

Скорость центра масс всего слоя:
$$V_{\text{цм}} = \frac{\rho l S \cdot v}{\rho L S} = \frac{l}{L} \cdot v = \frac{l}{L} \cdot c \cdot \frac{\Delta\rho}{\rho}$$
Смещение центра масс после прохождения волны:
$$\Delta x_{\text{ц.м.}} = \frac{1}{M} \int m_i \Delta x_i = \frac{\Delta\rho}{\rho} \cdot l$$
где $M$ — полная масса слоя.