Решение

Пусть масса всего песка $M$, его вес $P_{0}=Mg$.

Обозначим массовую скорость течения песка (масса, высыпающаяся в единицу времени):

$$\dot{m}=\frac{M}{T}=\frac{P_{0}}{gT}$$

Тогда вес в единицу времени высыпающейся массы:

$$\dot{m}g=\frac{P_{0}}{T}$$

Сразу после переворота песок начинает высыпаться, но ещё ни одна частица не долетела до дна, это интервал $0\le t\le \Delta t$, в полёте находится масса, которая не оказывает давление на весы:

$$m_{полёт}=\dot{m}t$$

Поэтому показание весов уменьшается на этот вес: $\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:

$$P(t)=2P_{0}-\dot{m}gt=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}t$$

Наименьший вес, который покажут весы:

$$P(\Delta t)=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$

В интервале времени $\Delta t\lt t\lt T-\Delta t$ в любой момент всегда есть частицы в полёте массой $\dot{m}\Delta t$ (они не оказывают давление на весы), но одновременно в единицу времени на дно падает масса $\dot{m}$ со скоростью $\upsilon=g\Delta t$.

Сила, связанная с торможением потока песка:

$$F=\dot{m}\upsilon=\dot{m}g\Delta t$$

точно равна весу частиц, находящихся в полёте: $\dot{m}g\Delta t$. Значит потерянный вес компенсируется импульсной добавкой, и отображение весов остаётся постоянным:

$$P(t)=2P_{0}-P_{полёт}+F=2P_{0}-\dot{m}g\Delta t+\dot{m}g\Delta t=2P_{0}$$

В интервале времени $T-\Delta t\le t\le T$ вес песка уже не уменьшается, а сила импульсного торможения линейно увеличивается со временем: $F=\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:

$$P(t)=2P_{0}+\dot{m}gt=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}t$$

Наибольший вес, который покажут весы:

$$P(\Delta t)=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$

В интервале времени $t\gt T$ весь песок внизу и весы будут показывать $P(t)=2P_{0}$.

Итак, кусочно-линейная функция показаний весов:
$$P(t) = \begin{cases} 2P_{0} - \dfrac{P_{0}}{T}\,t & 0 \leq t \leq \Delta t, \\ 2P_{0} & \Delta t < t < T-\Delta t, \\ 2P_{0} + \dfrac{P_{0}}{T}\,t & T-\Delta t \leq t \leq T, \\ 2P_{0} & t > T. \end{cases}$$