$2.2.40.$ На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов $2P_{0}$. Вес песка равен $P_{0}$. Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки $\Delta t$, время протекания песка $T$.
### Решение
Пусть масса всего песка $M$, его вес $P_{0}=Mg$.
Обозначим массовую скорость течения песка (масса, высыпающаяся в единицу времени):
$$\dot{m}=\frac{M}{T}=\frac{P_{0}}{gT}$$
Тогда вес в единицу времени высыпающейся массы:
$$\dot{m}g=\frac{P_{0}}{T}$$
Сразу после переворота песок начинает высыпаться, но ещё ни одна частица не долетела до дна, это интервал $0\le t\le\Delta t$, в полёте находится масса, которая не оказывает давление на весы:
$$m_{полёт}=\dot{m}t$$
Поэтому показание весов уменьшается на этот вес: $\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
$$P(t)=2P_{0}-\dot{m}gt=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}t$$
Наименьший вес, который покажут весы:
$$P(\Delta t)=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
В интервале времени $\Delta t\lt t\lt T-\Delta t$ в любой момент всегда есть частицы в полёте массой $\dot{m}\Delta t$ (они не оказывают давление на весы), но одновременно в единицу времени на дно падает масса $\dot{m}$ со скоростью $\upsilon=g\Delta t$.
Сила, связанная с торможением потока песка:
$$F=\dot{m}\upsilon=\dot{m}g\Delta t$$
точно равна весу частиц, находящихся в полёте: $\dot{m}g\Delta t$. Значит потерянный вес компенсируется импульсной добавкой, и отображение весов остаётся постоянным:
В интервале времени $T-\Delta t\le t\le T$ вес песка уже не уменьшается, а сила импульсного торможения линейно увеличивается со временем: $F=\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
$$P(t)=2P_{0}+\dot{m}gt=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}t$$
Наибольший вес, который покажут весы:
$$P(\Delta t)=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
В интервале времени $t\gt T$ весь песок внизу и весы будут показывать $P(t)=2P_{0}$.
Итак, кусочно-линейная функция показаний весов:
$$
P(t) =
\begin{cases}
2P_{0} - \dfrac{P_{0}}{T}\,t & 0 \leq t \leq\Delta t, \\\\
2P_{0} & \Delta t < t < T-\Delta t, \\\\
2P_{0} + \dfrac{P_{0}}{T}\,t & T-\Delta t \leq t \leq T, \\\\
$2.2.40.$ На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов $2P_{0}$. Вес песка равен $P_{0}$. Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки $\Delta t$, время протекания песка $T$.
$2.2.40.$ На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов $2P_{0}$. Вес песка равен $P_{0}$. Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки $\Delta t$, время протекания песка $T$.
### Решение
### Решение
Пусть масса всего песка $M$, его вес $P_{0}=Mg$.
Пусть масса всего песка $M$, его вес $P_{0}=Mg$.
Обозначим массовую скорость течения песка (масса, высыпающаяся в единицу времени):
Обозначим массовую скорость течения песка (масса, высыпающаяся в единицу времени):
$$\dot{m}=\frac{M}{T}=\frac{P_{0}}{gT}$$
$$\dot{m}=\frac{M}{T}=\frac{P_{0}}{gT}$$
Тогда вес в единицу времени высыпающейся массы:
Тогда вес в единицу времени высыпающейся массы:
$$\dot{m}g=\frac{P_{0}}{T}$$
$$\dot{m}g=\frac{P_{0}}{T}$$
Сразу после переворота песок начинает высыпаться, но ещё ни одна частица не долетела до дна, это интервал $0\le t\le\Delta t$, в полёте находится масса, которая не оказывает давление на весы:
Сразу после переворота песок начинает высыпаться, но ещё ни одна частица не долетела до дна, это интервал $0\le t\le\Delta t$, в полёте находится масса, которая не оказывает давление на весы:
$$m_{полёт}=\dot{m}t$$
$$m_{полёт}=\dot{m}t$$
Поэтому показание весов уменьшается на этот вес: $\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
Поэтому показание весов уменьшается на этот вес: $\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
$$P(t)=2P_{0}-\dot{m}gt=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}t$$
$$P(t)=2P_{0}-\dot{m}gt=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}t$$
Наименьший вес, который покажут весы:
Наименьший вес, который покажут весы:
$$P(\Delta t)=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
$$P(\Delta t)=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
В интервале времени $\Delta t\lt t\lt T-\Delta t$ в любой момент всегда есть частицы в полёте массой $\dot{m}\Delta t$ (они не оказывают давление на весы), но одновременно в единицу времени на дно падает масса $\dot{m}$ со скоростью $\upsilon=g\Delta t$.
В интервале времени $\Delta t\lt t\lt T-\Delta t$ в любой момент всегда есть частицы в полёте массой $\dot{m}\Delta t$ (они не оказывают давление на весы), но одновременно в единицу времени на дно падает масса $\dot{m}$ со скоростью $\upsilon=g\Delta t$.
Сила, связанная с торможением потока песка:
Сила, связанная с торможением потока песка:
$$F=\dot{m}\upsilon=\dot{m}g\Delta t$$
$$F=\dot{m}\upsilon=\dot{m}g\Delta t$$
точно равна весу частиц, находящихся в полёте: $\dot{m}g\Delta t$. Значит потерянный вес компенсируется импульсной добавкой, и отображение весов остаётся постоянным:
точно равна весу частиц, находящихся в полёте: $\dot{m}g\Delta t$. Значит потерянный вес компенсируется импульсной добавкой, и отображение весов остаётся постоянным:
В интервале времени $T-\Delta t\le t\le T$ вес песка уже не уменьшается, а сила импульсного торможения линейно увеличивается со временем: $F=\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
В интервале времени $T-\Delta t\le t\le T$ вес песка уже не уменьшается, а сила импульсного торможения линейно увеличивается со временем: $F=\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
$$P(t)=2P_{0}+\dot{m}gt=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}t$$
$$P(t)=2P_{0}+\dot{m}gt=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}t$$
Наибольший вес, который покажут весы:
Наибольший вес, который покажут весы:
$$P(\Delta t)=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
$$P(\Delta t)=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
В интервале времени $t\gt T$ весь песок внизу и весы будут показывать $P(t)=2P_{0}$.
В интервале времени $t\gt T$ весь песок внизу и весы будут показывать $P(t)=2P_{0}$.
Итак, кусочно-линейная функция показаний весов:
Итак, кусочно-линейная функция показаний весов:
$$
$$
P(t) =
P(t) =
\begin{cases}
\begin{cases}
2P_{0} - \dfrac{P_{0}}{T}\,t & 0 \leq t \leq\Delta t, \\\\
2P_{0} - \dfrac{P_{0}}{T}\,t & 0 \leq t \leq\Delta t, \\\\
2P_{0} & \Delta t < t < T-\Delta t, \\\\
2P_{0} & \Delta t < t < T-\Delta t, \\\\
2P_{0} + \dfrac{P_{0}}{T}\,t & T-\Delta t \leq t \leq T, \\\\
2P_{0} + \dfrac{P_{0}}{T}\,t & T-\Delta t \leq t \leq T, \\\\
