Решение

На падающую каплю действуют две силы: постоянная сила тяжести, ускоряющая движение капли, и сила сопротивления воздуха, замедляющая ее движение и растущая с ростом скорости капли. Сила сопротивления воздуха растет до тех пор, пока она не стапет равной силе тяжести. Дальше прекращается изменение скорости, и падение капель происходит с постоянной скоростью.

Запишем уравнение через длительный промежуток времени:

$$mg=\gamma rv\tag{1}$$

Найдем $m$ через объем $V$:

$$m=\rho V=\frac{4}{3} \rho\pi r^3$$

И подставим в $(1)$:

$$\frac{4}{3} \rho\pi r^3 g=\gamma rv$$

Отсюда:

$$v = \frac{4}{3} \frac{\rho\pi g}{\gamma} \cdot r^2 =\alpha r^2\tag{2}$$

$$\alpha = \frac{4}{3} \frac{\rho\pi g}{\gamma} =\frac{v}{r^2}=10^8 \,\frac{1}{м \cdot с}$$

Подставлем и находим ответ

$$v(\frac{r}{2}) = \alpha\frac{r^2}{4}=0.25\, м/с$$

$$v(\frac{r}{10}) = \alpha\frac{r^2}{100}=0.01\, м/с$$