Решение

Перейдем в систему отсчета свободного конца пружины. В этой системе закон сохранения энергии остается справедливым [1].

Ясно, что груз в движущейся системе будет совершать гармонические колебания с периодом:

$$T=2\pi\sqrt\frac{m}{k}.$$

Чтобы груз не колебался в конце процесса, понятно, что он должен вернуться в положение равновесия и иметь скорость, равную нулю (уже в системе земли).

Такое возвращение происходит в первый раз через период колебаний. Именно через такой промежуток времени в первый раз в системе земли скорость груза обнуляется, потому что по правилу сложения скоростей она равна сумме скорости груза в системе движущейся и скорости самой движущейся системы, а они, в свою очередь, оказываются равными по величине и противоположно направленными.

Итак, главное, чтобы за время смещения конца пружины прошло время кратное периоду

$$\tau=nT\quad (n=1,2,3,\ldots).$$

Тогда мы получаем условие допустимой скорости:

$$u=\frac{d}{\tau}=\frac{d}{2\pi n}\sqrt{\frac{k}{m}}\quad (n=1,2,3,\ldots).$$

Формулировка задачи для математического маятника: к нижнему концу первоначально вертикальной и неподвижной нити длины $l$ прикреплен малый груз, система находится в однородном поле тяжести $g$. Свободный конец нити стали двигать двигать с постоянной скоростью перпендикулярно вектору ускорения $g$ свободного падения, пока он не переместился на расстояние $d$. Затем его резко остановили. При какой скорости этого конца нити груз после остановки не будет колебаться?