<p>\(1.3.15.\) По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра</p>
<p class="exp">
@@ -53,22 +53,22 @@
$x = vt \sin\alpha$
</p>
<p class="exp">
−
$y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2}$
+
$$y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2}$$
</p>
<p>Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0:</p>
<p class="exp">
−
$vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0$
+
$$vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0$$
</p>
<p class="exp">
$vt \sin\alpha = 2\pi n R,\,n\in\mathbb{N}$
</p>
<p>Время $t$ найдем как</p>
<p class="exp">
−
$t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$
+
$$t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$$
</p>
<p class="exp">
−
$2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$
+
$$2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$$
</p>
</p>
<p>Отсюда выражаем $v$:
</p>
<p class="exp">
$\fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$}$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю.
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
<p>\(1.3.15.\) По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?
<p>\(1.3.15.\) По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?
</p>
</p>
<h3> Решение: </h3>
<h3> Решение: </h3>
<p>Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра</p>
<p>Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
@@ -53,22 +53,22 @@
$x = vt \sin\alpha$
$x = vt \sin\alpha$
</p>
</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
$y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2}$
$$y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2}$$
</p>
</p>
<p>Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0:</p>
<p>Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0:</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
$vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0$
$$vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0$$
</p>
</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
$vt \sin\alpha = 2\pi n R,\,n\in\mathbb{N}$
$vt \sin\alpha = 2\pi n R,\,n\in\mathbb{N}$
</p>
</p>
<p>Время $t$ найдем как</p>
<p>Время $t$ найдем как</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
$t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$
$$t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$$
</p>
</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
$2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$
$$2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha}$$
</p>
</p>
</p>
</p>
<p>Отсюда выражаем $v$:
<p>Отсюда выражаем $v$:
</p>
</p>
<p class="exp">
<p class="exp">
$\fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$}$
$\fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$}$
</p>
</p>
<h4>
<h4>
Ответ:
Ответ:
</h4>
</h4>
<p>$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю.
<p>$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю.
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
