Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #16050 предыдущая #16049 ← раньше позже →
ru/11.4.15.md +51 −3
@@ -1,11 +1,59 @@
### Условие
−$11.4.15.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.4.15.$ Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте $100~\text{Гц}$ была в 10 раз меньше амплитуды на входе.
+![К задаче $11.4.15$|1089x321, 100%](../../img/11.4.15/Снимок экрана 2026-02-09 120603.png)
+
### Решение
−11
+Комплексный метод. Положим комплексная амплитуда напряжения на входе имеет нулевую начальную фазу; обозначим ее так
+$$
+U_{in}e^{i0^\circ}=U_{in},
+$$
+
+где $U_{in}$ есть модуль амплитуды входного напряжения.
+
+Комплексная амплитуда напряжения на выходе может иметь в общем случае тогда отличную от нуля начальную фазу $\varphi$; вот ее изображение
+
+$$
+U_{out}e^{i\varphi},
+$$
+
+где $U_{out}$ есть модуль амплитуды выходного напряжения.
+
+По аналогии с цепью постоянного тока для напряжения на выходе имеем
+
+$$
+U_{out}e^{i\varphi}=\dfrac{U_{in}}{Z_L+Z_C}Z_C,
+$$
+
+где $Z_L$ и $Z_C$ есть комплексные сопротивления дросселя (катушки) и конденсатора.
+
+Учитывая, что $U_{in}=10U_{out}$, предыдущее уравнение упрощается в такое
+
+$$
+\left(Z_L+Z_C\right)e^{i\varphi}=10Z_C,
+$$
+
+По определению $Z_L=i\omega L$ и $Z_C=\dfrac{1}{i\omega C}$, где $\omega=2\pi\nu$. Тогда из предыдущего после несложных преобразований можем выразить индуктивность:
+
+$$
+L=-\dfrac{1}{\omega^2Ce^{i\varphi}}\left(10-e^{i\varphi}\right),
+$$
+здесь учтено, что $i^2=-1$.
+
+Индуктивность есть величина реальная (без мнимой части) и положительная. Этому удовлетворяет только комплекс $e^{i\varphi}=-1$, что дает фазу выходного напряжения $\varphi=180^\circ$.
+
+Поэтому
+
+$$
+L=\dfrac{11}{\omega^2C}=\dfrac{11}{\left(2\pi\nu\right)^2C}\approx2{,}8~\text{Гн}.
+$$
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+L=\dfrac{11}{\left(2\pi\nu\right)^2C}\approx2{,}8~\text{Гн}.
+$$