Решение

Предварительные сведения

Сделаем упрощающие оговорки. Пусть внутреннее сопротивление генератора нулевое. Лампочку посчитаем активным сопротивлением $R$, а у катушек будем считать активное сопротивление нулевым (их индуктивности $L_1$ и $L_2$).

Комплексное сопротивление катушки:

$$Z_L=i\omega L,$$

где $\omega$ есть угловая частота переменного тока, $L$ есть индуктивность катушки.

Индуктивность катушки обычно считают прямо пропорциональной магнитной проницаемости $\mu$ вещества внутри катушки [1, 2]

$$L\sim\mu,$$

так как магнитная индукция внутри катушки также прямо пропорциональна $\mu$ при фиксированном токе.

Из сказанного заметим, что комплексное сопротивление катушки будет пропорциональным $\mu$:

$$\boxed{Z_L\sim\mu.}$$

Значит, вдвигание сердечника означает увеличение сопротивления катушки переменному току.

Построение схемы

Допустим, что индуктивности катушек одинаковы. Из несимметрии влияния на лампу двух вдвиганий сердечника можно подтвердить, что и схема цепи не должна обладать симметрией. То есть катушки соединены ни последовательно, ни параллельно.

Далее есть еще две возможности. Первая возможность: одна катушка соединена с лампой последовательно, другая подсоединена к ним параллельно; но в таком случае ток через лампу не зависит от сопротивления одной из катушек, что противоречит условию.

Рассмотрим вторую возможность. Схема цепи на рисунке ниже.

Мы имеем цепь, где, например, к первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа.

Запишем выражение для комплексного сопротивления этой цепи:

$$Z=Z_{L1}+\frac{Z_{L2}R}{Z_{L2}+R}.\tag{1}$$

При увеличении сопротивления первой катушки $Z_{L1}$ (вдвигание сердечника) сопротивление цепи действительно однозначно увеличивается, то есть свечение лампы уменьшается.

Но не просто предсказать, как увеличение сопротивления второй катушки $Z_{L2}$ повлияет на общее сопротивление (вспомните, к примеру, про резонанс в колебательном контуре).

Однако, не занимаясь анализом ситуации с увеличением сопротивления второй катушки, можно положить, что $L_1\gg L_2$, а также $Z_{L2}$ порядка $R$. Тогда получаем следующее.

1. При увеличении $Z_{L1}$ сопротивление цепи растет, лампа гаснет.

2. При увеличении $Z_{L2}$ сопротивление цепи практически не меняется. Ток цепи остается почти неизменным. Но сопротивление параллельного участка растет (см. дробное слагаемое в формуле $(1)$). Это ведет к росту напряжения на параллельном участке и, соответственно, росту тока через лампу. Лампа разгорается.