Правка разделов «Решение», «Зависимость»

igor правка от 14 февр. 2026 г., 13:53

правка #16094 предыдущая #16093 ← раньше позже →

ru/8.1.11.md +6 −4

			### Условие

			$8.1.11.$ В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом $r_0 = 3~\text{см}$ скорость электронов $v = 10^8~\text{м/с}$ при полном токе в пучке $I = 100~\text{А}$. Оцените начальную напряженность электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое.

		@@ -5,9 +5,7 @@Условие

			### Решение

		−	Сделаем рассуждения на физическом уровне строгости с разумными приближениями.

		−
			#### Начальная напряженность

			Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.

			Воспользуемся результатом решения задачи [$6.2.6$](/ru/6.2.6). Поле $E$ на поверхности пучка

			$$
			E_0=\frac{\rho r_0}{2\varepsilon_0},
			$$

			где $\rho$ есть объемная плотность заряда внутри пучка.

			Выразим $\rho$ с помощью стандартных определений для начала через концентрацию $n$ электронов в пучке:

			$$
			\rho=\frac{q}{V}=\frac{eN}{V}=en.
			$$

			Теперь с помощью определения тока $I=nevS=nev\pi r_0^2$ перепишем предыдущее:

			$$
			\rho=\frac{I}{v\pi r_0^2}.
			$$

			Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности

			$$
			\boxed{E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0}.}
			$$


			#### Зависимость $u(r)$

			Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.

			Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.

			Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.

			По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.

			Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении

			$$
			Ee=m_e\frac{du}{dt},
			$$

			где $u$ есть радиальная скорость электрона.

			При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от переменного радиуса $r$ по результатам первой части решения.

			$$
			\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt},
			$$

			где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.

			В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:

			$$
			be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.
			$$

			Достаточно просто проинтегрировать и получить

			$$
			\boxed{be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},}\tag{1}
			$$

			с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.


			#### Зависимость $t(r)$


			Перепишем уравнение $(1)$ с учетом $u=dr/dt$, обозначая $x=r/r_0$

			$$
			\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}=dt.
			$$

		@@ -92,16 +90,16 @@Зависимость $t(r)$
			Предварительный результат для зависимости времени от параметра $x$

			$$
		−	t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.
		+	T=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.
			$$

			Следующая задача вычислить интеграл

			$$
			\boxed{I=\int\frac{1}{\sqrt{\ln x}}dx.}
			$$

		−	~~Сделаем замену $\sqrt{\ln x}=t$, из которой~~ $x=e^{t^2}$, так что $dx/dt=2te^{t^2}$, то есть дифференциал $dx=2te^{t^2}dt$. Тогда перепишем интеграл
		+	Введем параметр $t$, который является просто обозначением для $\sqrt{\ln x}$ и не связан с временем, а нужен для расчета интеграла. Из $t=\sqrt{\ln x}$ имеем $x=e^{t^2}$, так что $dx/dt=2te^{t^2}$, то есть дифференциал $dx=2te^{t^2}dt$. Тогда перепишем интеграл

			$$
			I=2\int e^{t^2}dt.
			$$

			Разложение экспоненты в ряд дает:

		@@ -112,6 +110,10 @@Зависимость $t(r)$
			$$
			e^{t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}.
			$$
		+
		+
		+
		+




			#### Литература

			[1] Физика пучков заряженных частиц, Лоусон Дж., 1977.

			[2] On the Space-Charge Divergence of an Axially Symmetric Beam. E. R. Harrison. 1958.

			[3] Physics of high-intensity high-energy particle beam propagation in open air and outer-space plasmas. Andre Gsponer. 2009.


			#### Ответ

			$$
			E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0},\quad L\approx\sqrt{\frac{32\ln(2)}{9}\frac{m_er_0v^2}{E_0e}}.
			$$
		ещё строк без изменений 15