Правка раздела «Решение»

igor правка от 5 мар. 2026 г., 09:47

правка #16154 предыдущая #16153 ← раньше позже →

ru/2.5.22.md +2 −2

			### Условие

			$2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости.

		@@ -5,9 +5,9 @@Условие

			### Решение

		−	Решение предыдущей задачи [$2.5.21$](/ru/2.5.21) ~~будет похоже на решение этой~~.
		+	Рассуждения будут похожи на те, что были при решении предыдущей задачи ([$2.5.21$](/ru/2.5.21)).

		−	Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии.
		+	Найдем общее решение системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии.

			$$
			\left\\{
			\begin{aligned}
			&m_2v=m_1u+m_2V,\\\\
			&\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2},
			\end{aligned}
			\right.
			$$

			где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса.

			Решению удовлетворяют две такие скорости горки

			$$
			u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}.
			$$

			Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела

			$$
			V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
			$$

			Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину.

			Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии:

			$$
			\left\\{
			\begin{aligned}
			&m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\
			&\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh,
			\end{aligned}
			\right.
			$$

			где $h$ есть высота горки.

			Критическая скорость отсюда:

			$$
			v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}.
			$$

			Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку:

			$$
			u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v.
			$$

			При $v<v_0$ тело не достигает вершины:

			$$
			u=u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}
			\quad \text{и}\quad
			V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
			$$


			#### Ответ

			При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$:

			$$
			u=0\quad \text{и}\quad V=v.
			$$

			При $v<v_0$:

			$$
			u=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}
			\quad \text{и}\quad
			V=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
			$$

			Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела.
		ещё строк без изменений 74

	### Условие		### Условие

	$2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости.		$2.5.22.$ Тело массы $m_2$ наезжает со скоростью $v$ на неподвижную первоначально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости.

	@@ -5,9 +5,9 @@Условие

	### Решение		### Решение

	Решение предыдущей задачи [$2.5.21$](/ru/2.5.21) ~~будет похоже на решение этой~~.		Рассуждения будут похожи на те, что были при решении предыдущей задачи ([$2.5.21$](/ru/2.5.21)).

	Найдем общее решение из системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии.		Найдем общее решение системы уравнений по законам сохранения импульса и энергии.

	$$		$$
	\left\\{		\left\\{
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	&m_2v=m_1u+m_2V,\\\\		&m_2v=m_1u+m_2V,\\\\
	&\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2},		&\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1u^2}{2}+\frac{m_2V^2}{2},
	\end{aligned}		\end{aligned}
	\right.		\right.
	$$		$$

	где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса.		где $m_1$ есть масса горки, $u$ и $V$ есть скорости горки и тела соответственно в конце процесса.

	Решению удовлетворяют две такие скорости горки		Решению удовлетворяют две такие скорости горки

	$$		$$
	u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}.		u_1=0\quad \text{и}\quad u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}.
	$$		$$

	Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела		Из первого уравнения системы найдем соответствующие им две скорости тела

	$$		$$
	V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).		V_1=v\quad \text{и}\quad V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
	$$		$$

	Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину.		Ясно, что горка может в конце остановится ($u=0$), если тело преодолеет ее вершину.

	Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии:		Найдем критическую начальную скорость $v_0$ тела, при которой тело достигнет вершины горки, но не продвинется дальше, так как относительно горки перестанет двигаться (их скорости окажутся равными, обозначим их $w$). Для этого случая снова составляем систему уравнений по законам сохранения импульса и энергии:

	$$		$$
	\left\\{		\left\\{
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	&m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\		&m_2v_0=m_1w+m_2w,\\\\
	&\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh,		&\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{m_1w^2}{2}+\frac{m_2w^2}{2}+m_2gh,
	\end{aligned}		\end{aligned}
	\right.		\right.
	$$		$$

	где $h$ есть высота горки.		где $h$ есть высота горки.

	Критическая скорость отсюда:		Критическая скорость отсюда:

	$$		$$
	v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}.		v_0=\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}.
	$$		$$

	Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку:		Итак, при $v>v_0$ тело преодолевает горку:

	$$		$$
	u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v.		u=u_1=0\quad \text{и}\quad V=V_1=v.
	$$		$$

	При $v<v_0$ тело не достигает вершины:		При $v<v_0$ тело не достигает вершины:

	$$		$$
	u=u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}		u=u_2=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}
	\quad \text{и}\quad		\quad \text{и}\quad
	V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).		V=V_2=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
	$$		$$


	#### Ответ		#### Ответ

	При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$:		При $v>v_0\equiv\sqrt{hg\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)}$:

	$$		$$
	u=0\quad \text{и}\quad V=v.		u=0\quad \text{и}\quad V=v.
	$$		$$

	При $v<v_0$:		При $v<v_0$:

	$$		$$
	u=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}		u=v\frac{2m_2}{m_1+m_2}
	\quad \text{и}\quad		\quad \text{и}\quad
	V=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).		V=v\left(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right).
	$$		$$

	Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела.		Здесь $u$ есть скорость горки, $V$ есть скорость тела.
	ещё строк без изменений 74