| Перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс системы. В данной системе кинетическую энергию тел можна представить как сумму кинетической энергии центра масс и кинетической энергии относительного движения тел: | | Перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс системы. В данной системе кинетическую энергию тел можна представить как сумму кинетической энергии центра масс и кинетической энергии относительного движения тел: |
| | | |
| $$K=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})V_{ЦМ}+\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}$$ | | $$K=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})V_{ЦМ}+\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}$$ |
| | | |
| Поскольку внешние силы равны и противоположны, результирующая сила равна 0, значит центр масс остаётся неподвижным $V_{ЦМ}=0$. Тогда: | | Поскольку внешние силы равны и противоположны, результирующая сила равна 0, значит центр масс остаётся неподвижным $V_{ЦМ}=0$. Тогда: |
| | | |
| $$K=\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}$$ | | $$K=\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}$$ |
| | | |
| Запишем закон сохранения энергии: вся работа внешних сил идёт в потенциальную энергию пружины и кинетическую энергию относительного движения. | | Запишем закон сохранения энергии: вся работа внешних сил идёт в потенциальную энергию пружины и кинетическую энергию относительного движения. |
| | | |
| При суммарном растяжении пружины $r=\Delta x_{1}+\Delta x_{2}$ общая работа внешних сил: | | При суммарном растяжении пружины $r=\Delta x_{1}+\Delta x_{2}$ общая работа внешних сил: |
| | | |
| $$A=F\cdot r$$ | | $$A=F\cdot r$$ |
| | | |
| Потенциальная энергия пружины: | | Потенциальная энергия пружины: |
| | | |
| $$U=\frac{1}{2}kr^{2}$$ | | $$U=\frac{1}{2}kr^{2}$$ |
| | | |
| Тогда закон сохранения энергии примет вид: | | Тогда закон сохранения энергии примет вид: |
| | | |
| $$Fr=\frac{1}{2}kr^{2}+K\Longrightarrow K=Fr-\frac{1}{2}kr^{2}$$ | | $$Fr=\frac{1}{2}kr^{2}+K\Longrightarrow K=Fr-\frac{1}{2}kr^{2}$$ |
| | | |
| Максимум функции кинетической энергии достигается при: | | Максимум функции кинетической энергии достигается при: |
| | | |
| $$\frac{dK}{dr}=F-kr=0\Longrightarrow r=\frac{F}{k}$$ | | $$\frac{dK}{dr}=F-kr=0\Longrightarrow r=\frac{F}{k}$$ |
| | | |
| Подставляем: | | Подставляем: |
| | | |
| $$K_{макс}=F\cdot\frac{F}{k}-\frac{1}{2}k\left( \frac{F}{k} \right)^{2}=\frac{F^{2}}{2k}$$ | | $$K_{макс}=F\cdot\frac{F}{k}-\frac{1}{2}k\left( \frac{F}{k} \right)^{2}=\frac{F^{2}}{2k}$$ |
| | | |
| Максимальная потенциальная энергия пружины приобретается в момент максимального растяжения пружины. В этой точке $\upsilon_{отн}=0$ и значит $K=0$. Тогда закон сохранения энергии можна переписать в следующем виде: | | Максимальная потенциальная энергия пружины приобретается в момент максимального растяжения пружины. В этой точке $\upsilon_{отн}=0$ и значит $K=0$. Тогда закон сохранения энергии можна переписать в следующем виде: |
| | | |
| $$Fr_{макс}=\frac{1}{2}kr_{макс}^{2}\Longrightarrow r_{макс}=\frac{2F}{k}$$ | | $$Fr_{макс}=\frac{1}{2}kr_{макс}^{2}\Longrightarrow r_{макс}=\frac{2F}{k}$$ |
| | | |
| Тогда: | | Тогда: |
| | | |
| $$U_{макс}=\frac{1}{2}kr_{макс}^{2}=\frac{1}{2}k\left( \frac{2F}{k} \right)^{2}=\frac{2F^{2}}{k}$$ | | $$U_{макс}=\frac{1}{2}kr_{макс}^{2}=\frac{1}{2}k\left( \frac{2F}{k} \right)^{2}=\frac{2F^{2}}{k}$$ |
| | | |
| Максимальная относительная скорость происходит в момент максимальной кинетической энергии: | | Максимальная относительная скорость происходит в момент максимальной кинетической энергии: |
| | | |
| $$\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}=K_{макс}=\frac{F^{2}}{2k}$$ | | $$\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}=K_{макс}=\frac{F^{2}}{2k}$$ |
| | | |
| Отсюда выразим $\upsilon_{отн}$: | | Отсюда выразим $\upsilon_{отн}$: |
| | | |
| $$\upsilon_{отн}=F\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{km_{1}m_{2}}}$$ | | $$\upsilon_{отн}=F\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{km_{1}m_{2}}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$K_{макс}=\frac{F^{2}}{2k}$$ | | $$K_{макс}=\frac{F^{2}}{2k}$$ |
| $$U_{макс}=\frac{2F^{2}}{k}$$ | | $$U_{макс}=\frac{2F^{2}}{k}$$ |
| $$\upsilon_{отн}=F\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{km_{1}m_{2}}}$$ | | $$\upsilon_{отн}=F\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{km_{1}m_{2}}}$$ |