Решение

Пусть заряженная пластина находится на расстояниях $a$ - до левой обкладки, $b$ - до правой, тогда $a+b=d$. После перемещения пластины на расстояние $x$ вправо:

$$a^{'} = a + x, \qquad b^{'} = b - x$$

Левая и правая обкладки соединены проводником и заземлены. Следовательно их потенциалы одинаковы: $\varphi_{Л}=\varphi_{П}=0$. Таким образом они образуют один электрический узел (землю). Другой узел - сама пластина, поэтому мы имеем эквивалентную схему в виде двух конденсаторов, которые соединены параллельно (ещё раз - по определению элементы, подключённые между одной и той же парой узлов, соединены параллельно).

Ёмкость первого и второго конденсатора до перемещения пластины соответственно:

$$C_{1} = \frac{\varepsilon_{0} S}{a}, \qquad C_{2} = \frac{\varepsilon_{0} S}{b} \tag{1}$$

При параллельном соединении общая ёмкость системы: $C=C_{1}+C_{2}$. Поскольку заряд пластины равен $q$, то напряжение в системе:

$$V=\frac{q}{C}=\frac{q}{C_{1}+C_{2}}$$

Индуцированный заряд на левой и правой обкладке соответственно:

$$Q_{Л}=-C_{1}V, \qquad Q_{П}=-C_{2}V$$

Или:

$$Q_{Л}=-\frac{C_{1}q}{C_{1}+C_{2}}, \qquad Q_{П}=-\frac{C_{2}q}{C_{1}+C_{2}}$$

Подставим (1):

$$Q_{Л}=-\frac{\frac{\varepsilon_{0}S}{a}q}{\frac{\varepsilon_{0}S}{a}+\frac{\varepsilon_{0}S}{b}}=-\frac{bq}{a+b}=-\frac{bq}{d}$$

$$Q_{П}=-\frac{\frac{\varepsilon_{0}S}{b}q}{\frac{\varepsilon_{0}S}{a}+\frac{\varepsilon_{0}S}{b}}=-\frac{aq}{a+b}=-\frac{aq}{d}$$

После перемещения пластины новые заряды:

$$Q^{'}_{Л}=-\frac{b^{'}q}{d}, \qquad Q^{'}_{П}=-\frac{a^{'}q}{d}$$

Изменение зарядов:

$$\Delta Q_{Л}=Q_{Л}^{'}-Q_{Л}=-q\frac{b-x}{d}+q\frac{b}{d}=\frac{qx}{d}$$

$$\Delta Q_{П}=Q_{П}^{'}-Q_{П}=-q\frac{a+x}{d}+q\frac{a}{d}=-\frac{qx}{d}$$

Так как обкладки соединены проводником, изменение их зарядов происходит за счёт тока через провод. Модуль прошедшего заряда:

$$\Delta q=\left| \Delta Q_{Л} \right|=\left| \Delta Q_{П} \right|=\frac{qx}{d}$$