Решение

Отсутствие скольжения выполняется при

$$\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$$

(см. задачу $2.1.20$).

Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости:

$$mg\cos\alpha$$

и составляющую, действующую вдоль плоскости:

$$mg\sin\alpha.$$

Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$. Это изображено на рисунке.

Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра:

$$mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6),$$

где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении.

Откуда

$$\cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.$$

Минимальный угол достигается при

$$\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.$$

Заметим, по условию $\operatorname{ctg}\alpha/\sqrt3<1$, поэтому $\varphi>0$.