Решение

Пусть наша лампочка находится в точке $x=0$ в момент $t=0$. Концы стержня имеют координаты $x_{л}=-\frac{l}{2}$ (левый), $x_{п}=\frac{l}{2}$ (правый). В системе отсчёта связанной со стержнем свет достигает концов стержны в моменты времени:

$$t_{л}=t_{п}=\frac{l}{2c}$$

Перейдём в систему отсчёта, которая движется относительно стержны со скоростью $\upsilon$ в направлении от левого конца стержня к правому концу. Применим преобразование Лоренца для временной координаты:

$$t^{'}=\gamma\left( t-\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)$$

где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца.

Моменты времени прихода света в подвижной системе координат:

1. для левого конца $x_{л}$:

$$t^{'}_{л}=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon(-\frac{l}{2})}{c^{2}} \right)=\gamma\left( \frac{l}{2c}+\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)$$

2. для правого конца $x_{п}$:

$$t^{'}_{п}=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon(\frac{l}{2})}{c^{2}} \right)=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)$$

Разница во времени между приходом света на левый и правый конец:

$$\Delta t^{'}=t^{'}_{л}-t^{'}_{п}$$
$$\Delta t^{'}=\gamma\left( \frac{l}{2c}+\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)-\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)=\gamma\frac{\upsilon l}{c^{2}}$$

Подставив фактор Лоренца, окончательно получим:

$$\Delta t^{'}=\frac{l\upsilon}{c^{2}\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$$

ЧТД.