| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.2.6.$ Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками $d$. | | $7.2.6.$ Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками $d$. |
| | | |
| $\textbf{а.}$ Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками? | | $\textbf{а.}$ Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов между обкладками? |
| | | |
| $\textbf{б.}$ Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведенную в задаче $7.1.27a$. Начальной скоростью электронов пренебречь. | | $\textbf{б.}$ Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приведенную в задаче $7.1.27a$. Начальной скоростью электронов пренебречь. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| $\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а). | | $\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а). |
| | | |
| На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии: | | На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом: | | Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом: |
| | | |
| $$\nabla\cdot\vec E=0$$ | | $$\nabla\cdot\vec E=0$$ |
| | | |
| В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$: | | В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$: |
| | | |
| $$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$ | | $$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$ |
| | | |
| Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$: | | Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$: |
| | | |
| $$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$ | | $$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$ |
| | | |
| Домножим на $r$: | | Домножим на $r$: |
| | | |
| $$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$ | | $$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$ |
| | | |
| Продифференцируем: | | Продифференцируем: |
| | | |
| $$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$ | | $$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$ | | $$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$ |
| | | |
| Подставляем в уравнение Гаусса: | | Подставляем в уравнение Гаусса: |
| | | |
| $$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$ | | $$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$ |
| | | |
| Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты: | | Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты: |
| | | |
| $$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$ | | $$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$ |
| | | |
| Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона: | | Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона: |
| | | |
| $$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$ | | $$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$ |
| | | |
| Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие: | | Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие: |
| | | |
| $$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$ | | $$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$ |
| | | |
| Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта: | | Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта: |
| | | |
| $$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right) \tag{1}$$ | | $$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right) \tag{1}$$ |
| | | |
| Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов. | | Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов. |
| | | |
| По определению фокусного расстояния, тангенс угла отклонения: | | По определению фокусного расстояния, тангенс угла отклонения: |
| | | |
| $$\tan\beta\approx \beta=\frac{r}{f}\Longrightarrow f=\frac{r}{\beta}$$ | | $$\tan\beta\approx \beta=\frac{r}{f}\Longrightarrow f=\frac{r}{\beta}$$ |
| | | |
| Угол отклонения считаю малым в связи с малостью радиуса пучка. Но с другой стороны: | | Угол отклонения считаю малым в связи с малостью радиуса пучка. Но с другой стороны: |
| | | |
| $$\tan\beta\approx \beta=\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{z}}=\frac{\Delta p_{r}}{p_{z}}$$ | | $$\tan\beta\approx \beta=\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{z}}=\frac{\Delta p_{r}}{p_{z}}$$ |
| | | |
| Тогда: | | Тогда: |
| | | |
| $$f=\frac{rp_{z}}{\Delta p_{r}} \tag{2}$$ | | $$f=\frac{rp_{z}}{\Delta p_{r}} \tag{2}$$ |
| | | |
| Подставим (1) в (2) и учтём, что $p_{z}=m\upsilon_{z}$: | | Подставим (1) в (2) и учтём, что $p_{z}=m\upsilon_{z}$: |
| | | |
| $$f=\frac{2\upsilon_{z}\cdot r\cdot m\upsilon_{z}}{er(E_{2}-E_{1})}=\frac{2m\upsilon_{z}^{2}}{e(E_{2}-E_{1})} \tag{3}$$ | | $$f=\frac{2\upsilon_{z}\cdot r\cdot m\upsilon_{z}}{er(E_{2}-E_{1})}=\frac{2m\upsilon_{z}^{2}}{e(E_{2}-E_{1})} \tag{3}$$ |
| | | |
| Согласно закону сохранения энергии: | | Согласно закону сохранения энергии: |
| | | |
| $$\frac{m\upsilon_{z}^{2}}{2}=eU\Longrightarrow m\upsilon_{z}^{2}=2eU$$ | | $$\frac{m\upsilon_{z}^{2}}{2}=eU\Longrightarrow m\upsilon_{z}^{2}=2eU$$ |
| | | |
| Подставим в (3): | | Подставим в (3): |
