Решение

Потенциал $\phi$ в любой точке поверхности заряженного проводника определяется распределением зарядов по его объему или поверхности:

$$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r} \tag{1}$$

Пусть мы увеличили все линейные размеры проводника в $k$ раз, сохранив его форму и полный заряд $q$. В этом случае элементарный заряд $dq$ остается прежним, а расстояние $r$ от каждой точки заряда до точки наблюдения увеличивается в $k$ раз:

$$r_{2} = k \cdot r_{1} \tag{2}$$

Подставим маштабированные значения в формулу (1):

$$\phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{k \cdot r_{1}}=\frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r_{1}} \right)=\frac{\phi_{1}}{k} \tag{3}$$

Таким образом, при увеличении размеров в 3 раза потенциал проводника уменьшается в 3 раза.

По определению емкости $C=\frac{q}{\phi}$:

$$C_{2}=\frac{q}{\phi_{2}}=\frac{q}{\frac{\phi_{1}}{k}}=k \cdot \frac{q}{\phi_{1}} = k \cdot C_{1} \tag{4}$$

При $k=3$ получаем:

$$C_{2}=3C_{1}$$