Решение

У нас потенциал центральный, то есть зависит только от $r$. Поэтому движение частицы происходит по прямой только при нулевом моменте импульса $L=0$, когда нет орбитального вращения.

Полная энергия частицы:

$$E=\frac{m\dot r^2}{2}+U(r)$$

Движение возможно там, где кинетическая энергия неотрицательна:

$$E-U(r)\ge 0$$

Подставим $U(r)$:

$$E\ge V\left(\frac{l^{2}}{r^{2}}-\frac{2l}{r}\right)$$

Перепишем:

$$\frac{Vl^{2}}{r^{2}}-\frac{2Vl}{r} -E\le 0$$

Или:

$$Er^{2}+2Vlr-Vl^{2}\ge 0$$

Найдём корни квадратного неравенства:

$$r_{1,2}=\frac{-2Vl \pm \sqrt{4V^{2}l^{2}+4EVl^{2}}}{2E} =\frac{l(-V\pm \sqrt{V(V+E)})}{E}=l\frac{V}{E}\left(-1\pm \sqrt{1+\frac{E}{V}} \right)$$

При $E\gt 0$ один корень отрицательный, другой положительный:

$$r_{\min} = l\frac{V}{E}\left(-1+\sqrt{1+\frac{E}{V}} \right)\gt 0$$

Движение возможно при $r\ge r_{\min}$, то есть частица приходит из бесконечности, отражается и уходит обратно.

При $E\lt 0$ оба корня положительны. Движение возможно при

$$r_{1}\le r\le r_{2}$$

Это ограниченное движение колебаний частицы в потенциальной яме.

При $E\lt -V$ дискриминант уравнения меньше 0 - движение невозможно.