Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #18000 предыдущая #17999 ← раньше позже →
ru/5.11.13.md +62 −3
@@ -1,11 +1,70 @@
### Условие
−$5.11.13.$ [Вставьте условие задачи]
+$5.11.13.$ Накальная нить радиуса $r$ экранируется тремя цилиндрами радиуса $R$, $2R$ и $3R$. Температура нити $T_{0}$. Определите температуру внешнего экрана. Материал нити и экрана одинаков, степень черноты $\varepsilon=1$.
+![К задаче $5.11.13$|209x164, 40%](../../img/5.11.13/5.11.13.png)
+
### Решение
−asd
+$\textbf{Эпиграф:}$ "Если ваш логический, физически обоснованный ответ задачи не совпадает с ответом задачника, то верьте себе. Задачник окончил типографию, а вы университет." (из личного опыта)
+Пусть $L$ - длина наших цилиндров. Согласно закону Стефана-Больцмана поток энергии с боковой поверхности цилиндра:
+
+$$Q=\sigma\varepsilon ST^{4}=\sigma\varepsilon\cdot 2\pi RL\cdot T^{4}$$
+
+Поскольку у нас цилиндры вставлены один в один, то результирующий поток между цилиндрами будет определяться излучаемой энергией с поверхности внутреннего цилиндра и получаемой энергией от внешнего цилиндра на площадь внутреннего цилиндра. В общем виде можно записать:
+
+$$Q_{i\to j}=\sigma\varepsilon 2\pi R_{i}L(T_{i}^{4}-T_{j}^{4})$$
+
+Пусть $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ — температуры экранов радиусов $R$, $2R$ и $3R$ соответственно. В стационарном состоянии поток энергии через каждое звено одинаков $Q=const$.
+
+По условию задачи $\varepsilon=1$, тогда от нити к 1-му экрану:
+
+$$\frac{Q}{L}=q=2\pi\sigma r(T_{0}^{4}-T_{1}^{4})$$
+
+Между 1-м и 2-м экранами:
+
+$$\frac{Q}{L}=q=2\pi\sigma R(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})$$
+
+Между 2-м и 3-м экранами:
+
+$$\frac{Q}{L}=q=2\pi\sigma (2R)(T_{2}^{4}-T_{3}^{4})=4\pi\sigma R(T_{2}^{4}-T_{3}^{4})$$
+
+Излучение внешнего экрана в пространство:
+
+$$\frac{Q}{L}=q=2\pi\sigma (3R)T_{3}^{4}=6\pi\sigma RT_{3}^{4}$$
+
+Итак, у нас есть 4 уравнения с 4 неизвестными: $q$, $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$. Для упрощения решения этой системы уравнений перепишим их в виде:
+
+$$T_{0}^{4}-T_{1}^{4}=\frac{q}{2\pi\sigma r} \tag{1}$$
+$$T_{1}^{4}-T_{2}^{4}=\frac{q}{2\pi\sigma R} \tag{2}$$
+$$T_{2}^{4}-T_{3}^{4}=\frac{q}{4\pi\sigma R} \tag{3}$$
+$$T_{3}^{4}=\frac{q}{6\pi\sigma R} \tag{4}$$
+
+Сложим уравнений (2), (3) и (4):
+
+$$T_{1}^{4}-T_{2}^{4}+T_{2}^{4}-T_{3}^{4}+T_{3}^{4}=\frac{q}{2\pi\sigma R}+\frac{q}{4\pi\sigma R}+\frac{q}{6\pi\sigma R}$$
+
+$$T_{1}^{4}=\frac{q}{2\pi\sigma R}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)=\frac{q}{2\pi\sigma R}\cdot\frac{11}{6}$$
+
+Теперь подставим это в первое уравнение для нити:
+
+$$T_{0}^{4}=T_{1}^{4}+\frac{q}{2\pi\sigma r}=\frac{q}{2\pi\sigma}\cdot\left( \frac{11}{6R}+\frac{1}{r} \right)$$
+
+Отсюда:
+
+$$q=\frac{12\pi\sigma rRT_{0}^{4}}{11r+6R}$$
+
+Подставим в (4):
+
+$$T_{3}^{4}=\frac{1}{6\pi\sigma R}\cdot \frac{12\pi\sigma rRT_{0}^{4}}{11r+6R}=\frac{2rT_{0}^{4}}{11r+6R}=\frac{T_{0}^{4}}{5,5+\frac{3R}{r}}$$
+
+Окончательно:
+
+$$\boxed{T_{3}=\frac{T_{0}}{\sqrt[4]{5,5+\frac{3R}{r}}}}$$
+
+Ответ в задачнике неверен.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$T_{3}=\frac{T_{0}}{\sqrt[4]{5,5+\frac{3R}{r}}}$$