Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/14.3.1.md
+34 −3
| @@ -1,11 +1,42 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.3.1.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $14.3.1.$ Определите плотность поверхностного заряда, электрическое и магнитное поля в конденсаторе, движущемся со скоростью $\beta c$ параллельно своим пластинам, если в системе отсчета, движущейся вместе с конденсатором, электрическая напряженность равна $E$. (Элементарный электрический заряд частиц при движении системы не меняется, но меняется расстояние между зарядами.) | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | asd | ||
| + | Задачу буду решать в системе СГС. Обозначим $K^{'}$ - система отсчёта связанная с движущимся конденсатором, а $K$ - лабораторная система. | ||
| + | Поверхностная плотность заряда на пластинах в системе $K$: | ||
| + | |||
| + | $$\sigma=\frac{Q}{S}$$ | ||
| + | |||
| + | При переходе в систему $K^{'}$ полный заряд не изменяется, он есть инвариантом. Изменяется длина конденсатора вдоль направления скорости движения: | ||
| + | |||
| + | $$l^{'}=l\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}=l\sqrt{1-\frac{\beta^{2}c^{2}}{c^{2}}}=l\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{l}{\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}=\frac{l}{\gamma}$$ | ||
| + | |||
| + | где $\gamma$ - фактор Лоренца. Тогда изменение площади пластин будет: | ||
| + | |||
| + | $$S^{'}=\frac{S}{\gamma}$$ | ||
| + | |||
| + | Поверхностная плотность заряда в системе $K^{'}$ будет: | ||
| + | |||
| + | $$\sigma^{'}=\frac{Q}{S^{'}}=\gamma\frac{Q}{S}=\gamma\sigma$$ | ||
| + | |||
| + | Итак, поверхностная плотность заряда увеличится в $\gamma$ раз. | ||
| + | |||
| + | Для произвольного направления скорости $\vec\upsilon$ преобразования Лоренца для полей можно записать в векторной форме, разделив поля на компоненты параллельные и перпендикулярные к скорости: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E_{\parallel }^{'}=\vec E_{\parallel }, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=\vec B_{\parallel }$$ | ||
| + | $$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec E_{\bot }+\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]_{\bot } \right), \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec B_{\bot }-\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec E \right]_{\bot } \right)$$ | ||
| + | |||
| + | В системе $K$ магнитного поля нет, поэтому $\vec B_{\parallel }=0$ и $\vec B_{\bot }=0$. Электрическое поле перпендикулярно скорости, поэтому $\vec E_{\parallel }=0$, а $\vec E_{\bot }=E$. Тогда: | ||
| + | |||
| + | $$\vec E_{\parallel }^{'}=0, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=0$$ | ||
| + | $$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma E, \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\frac{\upsilon E}{c}=\gamma\beta E$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\sigma^{'}=\gamma\sigma$$ | ||
| + | $$E^{'}=\gamma E$$ | ||
| + | $$B^{'}=\gamma\beta E$$ | ||
| @@ -1,11 +1,42 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.3.1.$ [Вставьте условие задачи] | $14.3.1.$ Определите плотность поверхностного заряда, электрическое и магнитное поля в конденсаторе, движущемся со скоростью $\beta c$ параллельно своим пластинам, если в системе отсчета, движущейся вместе с конденсатором, электрическая напряженность равна $E$. (Элементарный электрический заряд частиц при движении системы не меняется, но меняется расстояние между зарядами.) | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| asd | Задачу буду решать в системе СГС. Обозначим $K^{'}$ - система отсчёта связанная с движущимся конденсатором, а $K$ - лабораторная система. | ||
| Поверхностная плотность заряда на пластинах в системе $K$: | |||
| $$\sigma=\frac{Q}{S}$$ | |||
| При переходе в систему $K^{'}$ полный заряд не изменяется, он есть инвариантом. Изменяется длина конденсатора вдоль направления скорости движения: | |||
| $$l^{'}=l\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}=l\sqrt{1-\frac{\beta^{2}c^{2}}{c^{2}}}=l\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{l}{\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}=\frac{l}{\gamma}$$ | |||
| где $\gamma$ - фактор Лоренца. Тогда изменение площади пластин будет: | |||
| $$S^{'}=\frac{S}{\gamma}$$ | |||
| Поверхностная плотность заряда в системе $K^{'}$ будет: | |||
| $$\sigma^{'}=\frac{Q}{S^{'}}=\gamma\frac{Q}{S}=\gamma\sigma$$ | |||
| Итак, поверхностная плотность заряда увеличится в $\gamma$ раз. | |||
| Для произвольного направления скорости $\vec\upsilon$ преобразования Лоренца для полей можно записать в векторной форме, разделив поля на компоненты параллельные и перпендикулярные к скорости: | |||
| $$\vec E_{\parallel }^{'}=\vec E_{\parallel }, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=\vec B_{\parallel }$$ | |||
| $$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec E_{\bot }+\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]_{\bot } \right), \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec B_{\bot }-\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec E \right]_{\bot } \right)$$ | |||
| В системе $K$ магнитного поля нет, поэтому $\vec B_{\parallel }=0$ и $\vec B_{\bot }=0$. Электрическое поле перпендикулярно скорости, поэтому $\vec E_{\parallel }=0$, а $\vec E_{\bot }=E$. Тогда: | |||
| $$\vec E_{\parallel }^{'}=0, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=0$$ | |||
| $$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma E, \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\frac{\upsilon E}{c}=\gamma\beta E$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\sigma^{'}=\gamma\sigma$$ | ||
| $$E^{'}=\gamma E$$ | |||
| $$B^{'}=\gamma\beta E$$ | |||