Solution

По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.

Первый участок

Рассмотрим силы, действующие на поршень.

$$\vec{F}_{газа} + \vec{F}_{трения} + \vec{F}_{атм} = 0$$

Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:

$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм}$$

$$pS = F + p_0 S$$

$$p = p_0 + \frac{F}{S}$$

Это давление, необходимое для начала движения поршня.

В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):

$$\frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T}$$

Тогда можно найти температуру начала движения поршня:

$$T = T_0 \frac{p}{p_0} = T_0 \frac{p_0 + \frac{F}{S}}{p_0} = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right)$$

Так как вначале процесс изохорный, работа в нём не совершается. По первому закону термодинамики:

$$Q = A' + \Delta U = \Delta U$$

Зная зависимость внутренней энергии газа от температуры $U = cT$:

$$Q = \Delta U = U_1 - U_0 = cT - cT_0$$

Окончательно:

$$T = T_0 + \frac{Q}{c}, \quad Q\le Q_1$$

Второй участок

На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:

$$p = p_0 + \frac{F}{S}$$

Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:

$$Q + Q_{тр} = A' + \Delta U$$

Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:

$$A_{тр} = F x$$

Изменение объема газа на этом перемещении:

$$\Delta V = xS$$

А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:

$$\Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$

Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:

$$x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S} \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$

И тогда работа трения:

$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$

Половина этой энергии возвращается в газ:

$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$

Работа газа в изобарном процессе:

$$A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$

Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:

$$\Delta U = c \Delta T$$

Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа: