Правка

gfernandez правка от
История
правка #18139 предыдущая #18104 ← раньше позже →
en/5.6.26.md +0 −160
@@ -1,160 +0,0 @@
−### Statement
−
−$5.6.26.$
−![|1322x288, 60%](../../img/5.6.26/5_6_26_problem_statement_1.png)
−![For problem $5.6.26$|522x312, 50%](../../img/5.6.26/5_6_26_problem_statement_2.png)
−
−
−### Solution
−
−
−
−По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.
−
−#### Первый участок
−
−Рассмотрим силы, действующие на поршень.
−
−$$\vec{F}_{газа} + \vec{F}_{трения} + \vec{F}_{атм} = 0$$
−
−Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:
−
−$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм} $$
−
−$$ pS = F + p_0 S $$
−
−$$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$
−
−Это давление, необходимое для начала движения поршня.
−
−В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):
−
−$$ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T} $$
−
−Тогда можно найти температуру начала движения поршня:
−
−$$ T = T_0 \frac{p}{p_0} = T_0 \frac{p_0 + \frac{F}{S}}{p_0} = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right)$$
−
−Так как вначале процесс изохорный, работа в нём не совершается. По первому закону термодинамики:
−
−$$ Q = A' + \Delta U = \Delta U $$
−
−Зная зависимость внутренней энергии газа от температуры $U = cT$:
−
−$$ Q = \Delta U = U_1 - U_0 = cT - cT_0 $$
−
−Окончательно:
−
−$$T = T_0 + \frac{Q}{c}, \quad Q\le Q_1$$
−
−Здесь Q_1 - количество теплоты, переданное газу до начала движения поршня:
−
−$$Q_1 = c(T - T_0) = c\left(T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) - T_0\right) = \frac{cT_0F}{p_0S}$$
−
−#### Второй участок
−
−На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:
−
−$$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$
−
−Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2:
−
−$$Q = Q_1 + Q_2$$
−
−Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:
−
−$$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$
−
−
−Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:
−
−$$ A_{тр} = F x $$
−
−Изменение объема газа на этом перемещении:
−
−$$ \Delta V = xS $$
−
−А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:
−
−$$ \Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$
−
−Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:
−
−$$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S} \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
−
−И тогда работа трения:
−
−$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
−
−Половина этой энергии возвращается в газ:
−
−$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$
−
−Работа газа в изобарном процессе:
−
−$$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$
−
−Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:
−
−$$ \Delta U = c \Delta T $$
−
−Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа:
−
−$$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$
−
−Преобразуем:
−
−$$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right) $$
−
−Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня:
−
−$$ \Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$
−
−Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали:
−
−$$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S} $$
−
−Получаем:
−
−$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$
−
−$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S} \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$
−
−Раскроем скобки:
−
−$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$
−
−Сократим подобные:
−
−$$ Q=\nu RT-\nu RT_0-\frac{\nu RT_0F}{p_0S}+cT-cT_0-\frac{TF\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}$$
−
−Соберем множители при $T$ и $T_0$:
−
−$$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R + c + \frac{\nu RF}{p_0S} - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)} - \frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}\right) $$
−
−Преобразуем два последних слагаемых в последней скобке:
−
−$$-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}-\frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\left(1+\frac{F}{p_0S}\right) = $$
−
−$$=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\cdot\frac{p_0S+F}{p_0S}=-\frac{F\nu R}{2p_0S}$$
−
−Тогда вся скобка:
−
−$$\nu R+c+\frac{\nu RF}{p_0S}-\frac{F\nu R}{2p_0S} = \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}$$
−
−И выражение теперь выглядит так:
−
−$$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right) $$
−
−Тогда, выражая $T$:
−
−$$T=\frac{Q+T_0\left(\nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right)}{\nu R+c-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}}$$
−
−Подставив $\nu = 1$ получаем ответ для $Q \ge Q_1$
−
−$$T=\frac{Q+T_0\left(R+c+\frac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\frac{FR}{2(p_0S+F)}}$$
−
−#### Answer
−
−
−$$T=\left[\begin{array}{ll}T_0+\dfrac{Q}{c}, & Q\le Q_1, \\\ \dfrac{Q+T_0\left(R+c+\dfrac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\dfrac{FR}{2(p_0S+F)}}, & Q\ge Q_1.\end{array}\right]$$