Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #18165 предыдущая #18164 ← раньше
ru/14.5.8.md +63 −3
@@ -1,11 +1,71 @@
### Условие
−$14.5.8.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.5.8.$ Фотонная ракета, стартующая с Земли, по наблюдениям с Земли теряет в единицу времени массу $m$. Начальная масса ракеты $M$. Как меняется от времени скорость и масса покоя ракеты? Действием на ракету гравитационного поля Земли пренебречь.
+
### Решение
−asd
+По условию задачи, наблюдатель на Земле видит, что ракета теряет массу $m$, тогда релятивистская масса ракеты в лабораторной системе будет меняться по закону:
+$$M_{рел}=M-mt \tag{1}$$
+
+Полная энергия ракеты:
+
+$$E=M_{рел}c^{2}$$
+
+Или с использованием (1):
+
+$$E(t)=(M-mt)c^{2} \tag{2}$$
+
+Продифференцируем и найдём изменение энергии ракеты за время $dt$:
+
+$$dE=-mc^{2}dt$$
+
+Эта энергия полностью уносится излучаемыми назад фотонами:
+
+$$dE_{ф}=-dE=mc^{2}dt$$
+
+Так как фотоны излучаются строго назад, их суммарный импульс равен:
+
+$$dP_{ф}=-\frac{dE_{ф}}{c}=-mcdt$$
+
+Согласно закону сохранения импульса, импульс ракеты увеличивается на такую же величину, но в противоположном направлении:
+
+$$dP=-dP_{ф}=mcdt$$
+
+Интегрируя это выражение от $t=0$, когда $P(0)=0$, получаем импульс ракеты в момент времени $t$:
+
+$$P(t)=mct \tag{3}$$
+
+Для любого релятивистского объекта выполняется инвариантная связь между полной энергией, импульсом и массой покоя $M_{0}$:
+
+$$E^{2}-P^{2}c^{2}=M_{0}^{2}c^{4} \tag{4}$$
+
+Подставим (2) и (3) в (4):
+
+$$(M-mt)^{2}c^{4}-m^{2}c^{2}t^{2}c^{2}=M_{0}^{2}c^{4}$$
+
+Упрощая, получим:
+
+$$M_{0}^{2}=M^{2}-2Mmt$$
+
+Или:
+
+$$M_{0}(t)=M\sqrt{1-\frac{2mt}{M}} \tag{5}$$
+
+Так как подкоренное выражение должно быть больше 0, то получим ограничение по времени: $t\lt \frac{M}{2m}$.
+
+Скорость релятивистской ракеты выразим через импульс:
+
+$$\upsilon(t)=\frac{P(t)}{M_{рел}}=\frac{P(t)c^{2}}{E(t)}$$
+
+Подставим сюда выражения (2) и (3):
+
+$$\upsilon(t)=\frac{mctc^{2}}{(M-mt)c^{2}}=\frac{mct}{M-mt}$$
+
+Стоит отметить, что когда масса покоя ракеты станет равной 0 в момент времени $t=\frac{M}{2m}$, скорость ракеты станет равной скорости света. В этот момент наша ракеты превратится в луч света. Наверное, это очень красиво.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\upsilon(t)=\frac{cmt}{M-mt}$$
+$$M_{0}(t)=M\sqrt{1-\frac{2mt}{M}},\quad \text{ при }t\lt \frac{M}{2m}$$