Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/14.5.17.md
+47 −4
| @@ -1,11 +1,54 @@ | |||
| + | |||
| ### Условие | |||
| + | $14.5.17$. При какой минимальной кинетической энергии позитрона его столкновение с неподвижным электроном может вызвать появление протон-антипротонной пары: $e^+ + e^− → p + \bar{p}$? Во сколько раз эта энергия больше минимальной кинетической энергии позитрона, который рождает протон-антипротонную пару при встречном столкновении с электроном? | ||
| − | $14.5.17.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| ### Решение | |||
| − | 1 | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Автор предлагает 2 способа получить протон-антипротонную пару. Будем интерпретировать условие так что во втором случае электрон и позитрон движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. | ||
| − | |||
| + | Также помним, что минимальной энергии соответствуют покоящиеся относительно друг друга итоговые частицы. Тогда инвариант в первом случае: | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | I_1=\frac{(E_{e}+m_ec^2)^2}{c^2}-p_e^2=\frac{(2m_pc^2)^2}{c^2}=4m_p^2c^2\tag{1} | ||
| + | $$ | ||
| + | где $E_{e}=m_ec^2+E_{k1}$ и $p_e=\gamma m_e v=\frac{\beta}{c}E_{e}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}mc$ | ||
| + | И можно конечно составлять сложные уравнения относительно $\beta$, но проще записать еще один инвариант, теперь для позитрона: | ||
| + | $$ | ||
| + | m_e^2c^2=\frac{E_e^2}{c^2}-p_e^2\tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | $(2)\to(1)$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{(E_{e}+m_ec^2)^2}{c^2}-\frac{E_e^2}{c^2}=4m_p^2c^2-m_e^2c^2 | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | 2E_{e}m_ec^2=4m_p^2c^4-2m_e^2c^4 | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E_{e}=c^2\frac{2m_p^2-m_e^2}{m_e} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E_{k1}=E_{e}-m_ec^2=2c^2\frac{m_p^2-m_e^2}{m_e}\tag{3} | ||
| + | $$ | ||
| + | Теперь аналогично рассмотрим второй случай, учитывая что суммарный импульс системы равен 0: | ||
| + | $$ | ||
| + | I_2=\frac{(2E_e)^2}{c^2}=\frac{(2m_pc^2)^2}{c^2}=4m_p^2c^2\tag{4} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E_e=m_pc^2\tag{5} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E_{k2}=c^2(m_p-m_e) | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | N=\frac{E_{k1}}{E_{k2}}=2\frac{m_p^2-m_e^2}{m_e(m_p-m_e)}=2\left(\frac{m_p}{m_e}+1\right)\approx 3.7\cdot 10^3 | ||
| + | $$ | ||
| + | Видно, что почти вся кинетическая энергия в первом случае идет не на слоздание пары, а на её разгон | ||
| + | |||
| + | $No:$ | ||
| + | У Савченко опечатка во второй части ответа, но на численный ответ она влияет слабо | ||
| + | #### Ответ | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{E_{k1}=2c^2\frac{m_p^2-m_e^2}{m_e}, \qquad N=2\left(\frac{m_p}{m_e}+1\right)=3.7\cdot 10^3} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,11 +1,54 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.5.17$. При какой минимальной кинетической энергии позитрона его столкновение с неподвижным электроном может вызвать появление протон-антипротонной пары: $e^+ + e^− → p + \bar{p}$? Во сколько раз эта энергия больше минимальной кинетической энергии позитрона, который рождает протон-антипротонную пару при встречном столкновении с электроном? | |||
| $14.5.17.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| 1 | |||
| #### Ответ | Автор предлагает 2 способа получить протон-антипротонную пару. Будем интерпретировать условие так что во втором случае электрон и позитрон движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. | ||
| Также помним, что минимальной энергии соответствуют покоящиеся относительно друг друга итоговые частицы. Тогда инвариант в первом случае: | |||
| $$ | |||
| I_1=\frac{(E_{e}+m_ec^2)^2}{c^2}-p_e^2=\frac{(2m_pc^2)^2}{c^2}=4m_p^2c^2\tag{1} | |||
| $$ | |||
| где $E_{e}=m_ec^2+E_{k1}$ и $p_e=\gamma m_e v=\frac{\beta}{c}E_{e}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}mc$ | |||
| И можно конечно составлять сложные уравнения относительно $\beta$, но проще записать еще один инвариант, теперь для позитрона: | |||
| $$ | |||
| m_e^2c^2=\frac{E_e^2}{c^2}-p_e^2\tag{2} | |||
| $$ | |||
| $(2)\to(1)$ | |||
| $$ | |||
| \frac{(E_{e}+m_ec^2)^2}{c^2}-\frac{E_e^2}{c^2}=4m_p^2c^2-m_e^2c^2 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| 2E_{e}m_ec^2=4m_p^2c^4-2m_e^2c^4 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E_{e}=c^2\frac{2m_p^2-m_e^2}{m_e} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E_{k1}=E_{e}-m_ec^2=2c^2\frac{m_p^2-m_e^2}{m_e}\tag{3} | |||
| $$ | |||
| Теперь аналогично рассмотрим второй случай, учитывая что суммарный импульс системы равен 0: | |||
| $$ | |||
| I_2=\frac{(2E_e)^2}{c^2}=\frac{(2m_pc^2)^2}{c^2}=4m_p^2c^2\tag{4} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E_e=m_pc^2\tag{5} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E_{k2}=c^2(m_p-m_e) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| N=\frac{E_{k1}}{E_{k2}}=2\frac{m_p^2-m_e^2}{m_e(m_p-m_e)}=2\left(\frac{m_p}{m_e}+1\right)\approx 3.7\cdot 10^3 | |||
| $$ | |||
| Видно, что почти вся кинетическая энергия в первом случае идет не на слоздание пары, а на её разгон | |||
| $No:$ | |||
| У Савченко опечатка во второй части ответа, но на численный ответ она влияет слабо | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| \boxed{E_{k1}=2c^2\frac{m_p^2-m_e^2}{m_e}, \qquad N=2\left(\frac{m_p}{m_e}+1\right)=3.7\cdot 10^3} | |||
| $$ | |||